Antikkens matematik er et glimrende emne til matematikhistorisk undervisning, idet det både kan tjene til at vise eleverne centrale dele af matematikkens arkitektur (den aksiomatisk-deduktive opbygning), forbindelserne til filosofi og oldtidskundskab, og diskussioner om forholdet mellem teoretisk og praktisk viden i en fjern kultur. Nogle af disse emner er eksemplarisk dækket i fx

  • Glunk, C. m.fl. (2006). Q. E. D. Platon og Euklid tegner og fortæller. København: Gyldendal.

Et centralt værk er selvfølgelig Euklids Elementer, hvoraf uddrag er nyoversat i QED (se ovenfor). Men Thyra Eibes klassiske oversættelse er stadig værd at konsultere.

  • Euklid (1897–1912). Euklids Elementer. Oversat af T. Eibe. 6 bd. København: Nordisk Forlag.

For nylig har nogle af folkene bag QED også nyoversat og kommenteret værker af Archimedes til brug for gymnasiet.

Forbindelsen til filosofi vil typisk skulle involvere Platons dialoger, fx Menon (som er oversat i QED), Timaios eller Theaitetos.

Jeg har også beskæftiget mig med relaterede emner her på bloggen, fx i diskussionen om Platons matematiske kosmologi eller om græske forhold. Og sammen med Kristian Danielsen arbejder jeg på et nyt materiale om Herons matematik.

Her vil jeg samle og kommentere forskellige tiltag, ideer og materialer på dansk til brug for matematikhistorisk undervisning i gymnasiet. Der vil være tale om et subjektivt udvalg, men hvis du har forslag til materialer, som ikke er på listen, så send mig gerne en besked.

  • Antik matematik i gymnasiet
  • Matematisk modellering [kommer] (logistisk vækst, $\chi^2$-test, m.fl.)
  • Idehistoriske emner [kommer] (ligningsløsning, funktionsbegreb, differentialregning, m.fl.)
  • Kulturhistoriske emner [kommer] (islamisk matematik, matematik og 2. verdenskrig, m.fl.)

Matematikhistorie er en obligatorisk og integreret del af matematikundervisningen på STX A/B/C-niveau. Man kan læse de overordnede formuleringer om formål og indhold i Bekendtgørelsen.

Igennem et par år har jeg sammen med Kristian Danielsen arbejdet på et materiale til brug for undervisning i logistisk vækst på STX baseret på en “fortællende og autentisk” tilgang til matematikhistorie. Det har udmøntet sig i en lille bog (Matematisk Bogsalg 2014) med materiale til at undervise i logistisk vækst baseret på Verhulsts oprindelige artikel fra 1838. På denne hjemmeside vil vi lægge yderligere links og materiale ud til brug for underviserne.

Read More

Nogle filosofiske refleksioner om nullets natur

For de græske matematikere var tal ”størrelser sammensat af enheder”, og hverken 0 eller 1 kom altså i betragtning som tal. Oversat kan man se dette som intuitivt, da ingen objekter ikke er et antal objekter, ligesom 1 objekt heller ikke (bogstaveligt) er et antal objekter da forskellen mellem objektet og samlingen af objektet først blev ekspliciteret i 1800-tallet (Frege etc.). Men når vi alligevel insisterer på, at 0 og 1 er tal, så er det altså fordi vi opfatter dem som størrelser af henholdsvis den tomme mængde og en singleton: De kommer altså til at svare til begreberne ”ingen” og ”den”. Og det giver god mening, især fordi vi gerne vil have et godt matematisk system, hvor vi fx kan regne med negative tal.

Et meget interessant filosofisk tilfælde er tænkeren Gregor Reisch, hvis bog udgjorde grundlaget for forelæsninger ved universiteternes filosofiske fakulteter omkring 1500. Reisch beskrev blandt andet i sin definition, hvordan ”enheden er intet tal, men tallets oprindelse” (Reisch’s Margarita philosophica 1504). Ramus beskrev i 1569 dette således: ”Et tal er det, hvormed en hvilken som helst ting tælles”, og fordi han betragtede ”tælling” som omfattende alle aritmetikkens fire operationer, blev hans talbegreb mere udvidet. Senere formulerede Stevin det sin version af definitionen: ”et tal er det, hvorigennem enhver genstands kvantitet kommer til udtryk” (1585), og herved er 1 blevet et tal, mens 0 nærmere bliver tallenes begyndelse, deres princip.

Negative tal er en anden besynderlig konstruktion i matematikkens historie, og det tog lang tid, før de blev accepterede som tal og givet en forståelse, der rækker ud over at de passer i regninger. En tidlig fortolkning af negative tal (og ikke bare ”trække-fra-tal”) som gæld er senere blevet gjort præcisere ved at opfatte dem som additivt inverse til positive tal, altså $a+(-a)=0$, og dermed opfatte dem som at gå ”den anden vej” ud af tallinjen (fx Wallis’ (1616-1703) fysiske fortolkning: ”At gå -3 skridt fremad er det samme som at gå tre skridt baglæns”).  Selvom denne forståelse er (og var) intuitiv, tog det lang tid før den blev anerkendt som begrundelse for de negative tal (og nul) – indtil da blev negative løsninger til ligninger fx kaldet ”falske” eller ”fiktive” løsninger (Cardano 1545, Descartes 1637). Og en del af baggrunden for dette er, at de optræder algebraisk men ikke svarer til geometriske størrelser i de problemer, som den algebraiske repræsentation stammer fra. Og selv Immanuel Kant (1724-1804) behandlede problemet i afhandlingen Versuch den Begriff der negativen Grössen in die Weltweisheit einzuführen fra 1763; der beskrev han, hvordan ”de negative størrelser er ikke negationer af størrelser, som ligheden i udtrykkene kunne lade formode, men noget som i sig selv er sandt positivt, og som blot er modstillet noget andet”. Mere præcist: ”Det er modstillet hinanden, hvoraf det ene ophæver det, som er sat af det andet”. Og nullet blev i denne anledning til den balance, som modstillingen spænder omkring.

Tilsvarende skelnede man fx mellem fuldstændige og ufuldstændige ligninger (afhængig af om alle polynomielle led var medtaget eller ej). Og så længe man ikke accepterede nul som en koefficient, var der mange forskellige typer ligninger, som alle måtte beskrives individuelt, fx 6 kvadratiske ligninger hos al-Khwarizmi, fx ”kvadrat og tal er lig rødder”: ”et kvadrat og 21 i tal er lig med 10 rødder af det samme kvadrat”. Hver af disse typer ligning måtte – i hvert fald i princippet – have sin egen løsnings procedure, og dette blev for alvor omfattende, da Omar Khayyam og andre senere forsøgte at tage skridtet videre til at betragte kubiske ligninger.

Der findes imidlertid også andre positionstalsystemer end hindutallene – et af dem, der hele tiden omgiver os er det binære talsystem, som er et 2-tals-positionssystem. Blandt de allerførste til at studere de binære tal var matematikeren og filosoffen Leibniz, som ud over deres rent matematiske egenskaber også var interesseret i dem af teologiske grunde. For i de binære tal så han en forklaring på Guds skaberværk: Ud af intet (0) og det guddommelige (1) kunne alle tallene skabes. Dette argument udviklede han i korrespondance med en jesuittermunk ved navn Bouvet.

Problemet med nullets natur som angivelse af størrelse bliver blot endnu tydeligere, hvis vi overvejer dets potentiale som ordenstal. Vi taler nemt om første gang, anden gang, tredje gang; eller om 1. klasse, 2. klasse, etc. Men at tale – som vi jo nu også gør – om 0. klasse i skolen er ret beset at gøre vold på et begreb; eller rettere: der ligger en dybere matematisk mening bag ved, nemlig at tal-rækken (og i dette tilfælde ordenstals-rækken) besidder en vis systematik (som den ikke nødvendigvis gør i dette tilfælde).

Og foruden at vise sprogets fleksibilitet viser dette eksempel også matematiske strukturer og regularitet er en drivkraft i megen matematisk begrebsdannelse. Hvis vi som moderne matematikere nemlig betragter de hele tal som en struktur, vil vi opfatte 0 som et additivt inverst element, dvs. $a+0=0+a=a$ for alle a. Og om dette kan man endda bevise, at 0 er entydigt: Antag nemlig, at både 0 og 0’ er additivt inverse elementer. Så er (ved at sætte a=0’ i ovenstående definition af 0): $0+0’ = 0$. Men samtidig er $0+0’=0’$, og ved at sammensætte får man konklusionen $0=0’$. For en matematiker er selv den slags oplagte ræsonnementer om ingenting således ikke det rene sofisteri!

Leibniz's medalje, hvor man kan se regning med binære tal.

Leibniz’s medalje, hvor man kan se regning med binære tal.

Indien: Nuller er svære at regne med

I den indiske kultur – som ligesom den mesopotamiske og den hellenistiske var astronomisk interesseret – finder man i indskrifter fra 600-tallet et symbol for nul som en prik eller en cirkel. Og i nogle af deres matematiske skrifter, fx Brahmagupta (også fra 600-tallet), findes angivelser af, hvordan man opererer med nul, fx:

Summen af nul og noget negativt er negativt, <summen af nul> og noget positivt er positiv, <summen af> to nuller er nul. Noget negativt trukket fra nul bliver positivt […] Produktet af nul og noget negativt eller positivt er nul; <produktet> af to nuller er nul […] Nul divideret med nul er nul […]

Den sidste del af citatet – at 0/0 er 0 er en af de første angivelser af en løsning på en udfordring, som vi stadig har: Nul har nemlig ikke nogen let aritmetik, når det kommer til division. Og Brahmagupta og andre indiske matematikere havde endnu sværere ved at formulere, hvad der sker, når man dividerer med nul. Fx siger Bhaskara i 1100-tallet, at ”en størrelse med divisoren 0 forbliver uændret, hvis man til den føjer eller fra den trækker vilkårligt meget”. Men han siger også, at:

Produktet <af en given størrelse> og nul er nul, men det må bibeholdes som et mangefold af nul, når der følger en anden operation efter. Hvis nul <først> er en multiplikator og derefter en divisor, så forbliver den givne størrelse uændret.

Denne form for en udvidet regning med 0 skulle blive en endnu større udfordring for differentialregningens opfindere (inkl. precalculus) i 1600-tallet, da deres metoder baserer sig på hvad der af kritikere blev beskrevet som en ”nullernes algebra”.

Det er morsomt at vide, at da den berømte norske matematiker Niels Henrik Abel langt senere – i begyndelsen af 1800-tallet – blev undervist af sin herostratisk berømte far i regning, så foregik det ud fra faderens egen hjemmelavede regnebog, hvor den første indgang i additionstabellen (fejlagtigt) er 0+1=0.

De hindu-arabiske tal og deres ankomst i Vesteuropa

Vores moderne talsystem – med dets 10 (eller 9) taltegn og baseret på et 10-tals-positionssystem – kaldes for det ”hindu-arabiske talsystem” fordi det oprindeligt kommer fra Indus-regionen men er formidlet til Vesteuropa gennem den islamiske kulturkreds.

En helt central skikkelse i denne formidling er den persiske matematiker al-Khwarizmi (780-850), som virkede i Bagdad. Al-Khwarizmi er særligt berømt for to værker – dels hans værk om løsning af kvadratiske ligninger, hvorfra begrebet algebra stammer (830), og dels hans bog om ”regning med hindu-tal” fra omkring 825. Da det sidste værk blev oversat til latin blev det kendt som Algoritmi de numero Indorum, hvor transliterationen af al-Khwarizmis navn så siden har givet anledning til begrebet ”algoritme”.

Dette værk præsenterede det indiske talsystem og regning i positionssystemet, og gjorde dette system kendt i den islamiske kulturkreds i det første århundrede efter al-Khwarizmi. Den lærde Gerbert af Aurillac (946-1003, pave 999) – den senere pave Sylvester II – blev blandt andre bekendt med det under sine rejser omkring Middelhavet som ung. Da han senere kom i betragtning som pave var det faktisk ikke en fordel – nærmere en kættersk skygge – at være i stand til at regne med de fremmede ”arabertal”.

De nye arabiske tal dukker første gang op i Europa i et manuskript fra omkring 976 – og i første omgang uden et symbol for 0 eller en egentlig beskrivelse af deres operationer. I stedet kommer Al-Khwarizmi og de hindu-arabiske tal for alvor til Vesteuropa igennem oversættelser foretaget af bl.a. Robert fra Chester i 1120 og Adelard fra Bath (1080-1152), som igennem kulturudvekslingen i Spanien og igennem korstogene kom i forbindelse med islamisk viden. Og igennem rejser i Middelhavsområdet kom også Leonardo fra Pisa (kendt som Fibonacci, 1170-1250) i kontakt med det nye talsystem, som han beskrev i sin Liber abaci fra 1202. Deri viste han også det nye talsystems anvendelighed i bogholderi og til løsning af matematiske problemer. Og selvom tegnene har udviklet sig noget i forskellige håndskrifter, standardiseredes de i perioden op til bogtrykkekunstens opfindelse. Leonardo skriver forbilledligt:

De ni indiske tegn er 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Med disse ni tegn og med tegnet 0, som araberne kalder ’zephirum’ (ciffer) kan man skrive et hvilket som helst tal, som vi skal demonstrere  i det følgende.

Og netop denne mulighed for at skrive alle tal – og regne med dem – skulle blive kernen bag hindutallenes sejrsgang. I Reisch’ værk bliver det fremstillet som en konkurrence mellem algoristen (hindutallene, som man kan regne med på papir) og abacisten (romertallene, som kræver et eksternt apparat for at blive behandlet) – og aritmetikkens lys skinner på algoristen – og dermed nullet – som sejrherren.

Træsnit fra Gregor Reisch, som viser konkurrencen mellem algoristen og abacisten.

Træsnit fra Gregor Reisch, som viser konkurrencen mellem algoristen og abacisten.

Talbegreber og talsystemer

Forskellige kulturer har haft forskellige talbegreber, og det er nyttigt at kunne skelne mellem tre relaterede aspekter, nemlig talsystemer (herunder aritmetiske algoritmer), talord og taltegn (eller talsymboler). Disse kan alle ses som repræsentationer af bagvedliggende talbegreber, som sjældent ekspliciteres helt, men hvis forskelle kan spores gennem de forskellige systemer, ord og tegn, som overleveres i kilderne. Og nogle gange er der forbindelser – fx mellem talordet ”nul” (eller bedre på engelsk: ”naught”) og taltegnet 0, som næsten mimer hinanden, hvilket også Holberg (og Shakespeare fx i King Lear 1603-06) forstod at udnytte. For eksempel karakteriserer narren King Lear som “An O without a figure”, hvor han dermed både spiller på tallets betydning og symbolets udseende.

Nogle talsystemer, fx det egyptiske eller romertallene har ikke behov for og ikke plads til et særskilt tal for nul: Regning i de to systemer fungerer ved “ophobning”, fx på et eksternt redskab, og ikke ved egentlige procedurer udført på talrepræsentationerne. Derfor gav det ikke mening for dem at betragte nul som et antal (som et tal), ligesålidt som de græske talteoretiske resultater hos Euklid giver enheden (1-tallet) status som et tal. I stedet kan vi måske tænke om deres forhold til disse tal som at “0 mænd” svarer til “ingen mænd” og at “1 mand” svarer til “manden”.

Hvis man således betragter forskellige talsystemer, så er det i sammenhæng med nullets historie især vigtigt at indkredse positionstalsystemerne, idet nullet her spiller en helt særlig rolle. Bare for at tage et (relevant) eksempel: I den præ-colombianske maya-kultur havde man et veludviklet talsystem til brug for især kalenderberegninger. Det var baseret på et 20-tals-positionssystem med tegn for 1 og 5, og havde faktisk også symboler for 0 (faktisk flere af slagsen). Et årstal svarende til 36 f.v.t. er skrevet med brug af sådan et nul – længe før et selvstændigt symbol for nul dukkede op i fx Vesteuropa.

Babylon og Grækenland: Astronomiske nuller

Men for nullets historie i Vesteuropa er det vigtigste sted at starte i den mesopotamiske kultur i det nuværende Irak (mellem Eufrat og Tigris) i højkulturen fra omkring 1500 f.v.t. [se også tidligere post om mesopotamiske tal]. Der havde man et talbegreb, som blev repræsenteret i kileskrift med to forskellige kiler for 1 og 10. Talsystemet var et 60-tals-positionssystem, men der var til at begynde med ikke noget tegn for en tom plads – der angives blot et lidt større mellemrum mellem ”cifrene” eller cifrene skrives i forskellig fysisk størrelse. Senere (i Seleukide-perioden fra 2. årh. f.v.t.) optræder et skilletegn som markering af en tom plads – skilletegnet er to sammensatte mindre hak.

Og regning med nul forekommer heller ikke i de ellers meget omfattende eksempler på matematiske opgaver, som den babylonske skriverkaste blev trænet i. Hvis man fx i rentes-regnings-opgaver skulle ende med at kapitalen blev nul (i vores sprogbrug), ville man skrive: ”kornet er fortæret”.

Fra den mesopotamiske kultur (og i mindre grad fra den egyptiske før den) har vi masser af eksempler på praktisk regning og på aritmetisk problemløsning. Fra den græske højkultur har vi derimod mest eksempler på en anden type bevisende matematik, som også gjorde tallene til genstand for filosofisk undersøgelse. Det skete blandt andet i en af bøgerne i Euklids berømte Elementer (omkring 295 f.v.t.), nemlig den talteoretiske bog VII. Og her er talbegrebet faktisk eksplicit defineret: Tal er ”størrelser sammensat af enheder”. Denne definition udelukker 1 som et tal – det er enheden, hvormed tallene måles, og 0 er da slet ikke på tale som et tal. Vi har i stedet fået ekspliciteret en ide om tal som kardinaltal – angivelser af størrelser af mængder (samlinger).

Men i den mere praktiske ende af matematikken – især i astronomien – overtog grækerne 60-tals-positionssystemet fra babylonerne. Og her dukkede en ny opfindelse op i Ptolemaios’ tabeller i den berømte Almagest (2. årh. e.v.t.): Ptolemaios bruger det græske tegn omicron som indikation af en tom plads – måske fordi omicron er det første bogstav i det græske ord for ”intet”. Og dermed har nullet for første gang fået sin moderne form.

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Slut dig til de 185, der følger denne blog