Posted in Matematikhistorie

SRP i græsk matematik – hvordan kan man tilgodese både matematik og historie?

Nu er det snart SRP-tid igen, og en af de helt store kombinationer er matematik og historie. Men det er ikke altid nemt at få problemformuleringen til at hænge sammen og integrere de to fag, så opgaven ikke bliver en “parallelopgave”.
Et af de hyppige emner er græsk matematik i kombination med historie. Men selvom Euklids Elementer er matematikhistorisk utroligt vigtige, er det ikke så oplagt, hvordan man integrerer historiefagets hensyn, så det ikke “bare” bliver til kontekst og indhold. Heldigvis er der muligheder, hvis man tænker bare en lille smule ud af boksen, men de skal stadig formes i samspil mellem elev, historie- og matmatiklærer:
  • I samspil med oldtidens filosofi og demokratiske debatform har matematikkens logiske argumentationsform udviklet sig. Dette kaldes nogle gange for “Det græske mirakel”, og der er glimrende materiale til forholdet mellem Euklid og Platon i
    Glunk, Claus m.fl. (2006). Q. E. D. Platon og Euklid tegner og fortæller. København: Gyldendal.
  • Euklids parallelpostulat, som sikrer at vinkelsummen i enhver trekant er 180 grader, blev i starten af 1800-tallet udsat for en matematisk kritik, der viste muligheden af en ikke-euklidisk geometri. Dette var kraftigt medvirkende til, at matematikken omkring 1900 blev frigjort fra naturbeskrivelsen. Dette henviser man nogle gange til som at “matematikken blev moderne”.
  • Euklids Elementer har været undervisningsstof i latinskolen og gymnasiet indtil 1910 – man kan godt undre sig over, hvad det var, elever skulle lære af at trækkes igennem bog I af Elementerne. Dette kan man undersøge som “Elementernes formaldannende begrundelse”.
  • Euklid var langt fra den eneste græske matematiker, og selvom vi i dag lægger stor betydning til Elementerne var der også andre matematiksyn, som fx Herons mere ingeniøragtige betragtninger i Metrica, som dog også værdsætter og begrunder nytten af det matematiske bevis. Det kunne man bruge til at sætte matematikken ind i dens praktiske brug i oldtiden (og middelalderen) til landmåling, belejringsmaskiner, etc., og der er kildecentreret materiale til det i vores hæfte Kristian Danielsen og Henrik Kragh Sørensen. Herons formel. Hvordan en aleksandriner fik sat mål på alle slags trekanter. København: Matematiklærerforeningen, 2016.
  • Hvis man ikke hænger fast i Euklid kan man også diskutere forholdet mellem matematik og klassisk æstetik og arkitektur hos fx Vetruv (se Kristian Danielsens post i LMFK-bladet: http://lmfk.dk/artikler/data/artikler/1702/1702_06.pdf)
[Dette er ansporet af korrespondance med gymnasieelever og deres lærere. Kommentarer og diskussion er meget velkomment, fx på Facebook-gruppen.]
Reklamer

Da bankbøger var lavet af træ

En gang brugte man træpinde (såkaldte tally-sticks) til at holde styr på indgåede lån. Disse træpinde kom til at repræsentere værdi i sig selv og blev dermed en slags penge. Da man i 1834 bestemte sig for at afskaffe systemet i England og brænde træpindene havde man nær brændt Westminster Palace ned.

Læs mere på BBC.

Posted in Herons formel, Matematikhistorie, Matematikhistorie i gymnasiet

Materiale om Herons formel udkommet

I december 2016 udkom det materiale om Herons formel til kildecentreret matematikhistorie, som jeg har udarbejdet sammen med Kristian Danielsen.

I forbindelse med materialet har vi lavet en hjemmeside her på matematikhistorie.dk.

Der er også mulighed for at se et foredrag, som jeg har holdt om Herons formel og materialet, rettet mod gymnasieklasser.

hks2016m

Hvis du har erfaringer med materialet, hører vi meget gerne fra dig.

Posted in Matematikhistorie, Matematikhistorie i gymnasiet

Herons formel: Kildecentreret matematikhistorie til STX

Sammen med Kristian Danielsen har jeg udarbejdet et nyt materiale til brug for kildecentreret matematikhistorie i gymnasiet. Materialet handler om Heron’s formel, hvorved man kan bestemme arealet af en vilkårlig trekant ud fra kendskabet til trekantens sider.

Materialet er udkommet hos Matematiklærerforeningens Bogsalg i december 2016. Denne side indeholder nogle supplerende materialer, som understøtter brugen af hæftet i undervisningen.

En kort metode-indføring til kildecentreret matematikhistorie

Jeg har skrevet nogle refleksioner og noter fra min undervisning i forskellige kurser sammen til en kort indføring i kildecentreret matematikhistorisk metode og lagt den ud på Center for Videnskabsstudiers preprint-serie kaldet RePoSS. Det er helt sikkert ikke det sidste ord i den sag, så kommentarer og forslag modtages meget gerne.

Continue reading “En kort metode-indføring til kildecentreret matematikhistorie”

Posted in Logistisk Vækst, Matematikhistorie, Matematikhistorie i gymnasiet

Kildecentreret matematikhistorie i gymnasiet: Multi-purpose materialer og didaktisering

I arbejdet med at udvikle materialer til kildecentreret matematikhistorie i gymnasiet
anlægger vi tre fundamentale principper, nemlig

  1. at materialet er centreret om en kilde, som er udvalgt i en dialektisk proces defineret af kildens muligheder og undervisningens formål,
  2. at det materiale, som vi udvikler, er rettet mod læreren og muliggør adskillige forskellige anvendelser i undervisningen,
  3. at den egentlige didaktisering til den konkrete undervisningssituation er overladt til læreren på grundlag af information og inspiration fra materialet (se også Danielsen, Gertz og Sørensen, 2016).

I arbejdet med at udvælge materialer at arbejde med, anvender vi derfor typisk en proces som er stiliseret i figur 1.

blog-didaktisering-crop-0

Denne proces tager, ligesom hele tilgangen og det endelige produkt, kilden som sit udgangspunkt. Den består af 5 delprocesser svarende til de fem centrale elementer, som skal udgøre det færdige materiale:

  1. Kilden identificeret og afgrænset og (1a) oversat til dansk.
  2. Kontekstualisering (identifikation og tekstproduktion).
  3. Forklaring og udfoldning (identifikation og tekstproduktion).
  4. Undervisningsdesigns identificeret og (4a–4c) beskrevet.
  5. Introduktion til elever (og lærer) med situering.

Processerne 1 og 4 i figur 1 er nært forbundne, idet langt fra alle kilder tillader relevante undervisningsformål, ligesom det kan vise sig svært at finde kilder, der understøtter ønskede formål defineret af fx et emne fra kernestoffet. Derfor udgør 1 og 4 en dialektisk proces, hvor kilde og formål afstemmes efter hinanden (se figur 2), og nogle kilder og formål må simpelthen opgives (i hvert fald for nuværende), hvis processen ikke konvergerer. Derfor har vi også et idekatalog med skuffeprojekter, hvor vi løbende samler ideer og skitser, men før kilde og formål går op i en højere enhed, giver projektet ikke mening og må tilbage i skuffen.

blog-didaktisering-crop-1

Kildevalget udgør således den ene afgrænsning af materialeudviklingen: Hvilke materialer kan overhovedet udvikles? Den anden afgrænsning handler om, hvordan produktet skal være, og her siger multi-purpose-tilgangen, at materialet skal lægge op til og understøtte lærerens konkrete didaktisering til et bestemt undervisningsformål (se figur 3).

blog-didaktisering-crop-2

I forlængelse af den foregående observation er det her vigtigt at huske, at ikke alle formål er lige relevante for en given kilde. Men læreren skal alligevel tilpasse kilden og materialet til sin undervisningssituation og selv mestre pointerne på et niveau, der tillader at undervise i dem.

Til materialerne er knyttet en hjemmeside (her på http://www.matematikhistorie.dk/), hvor vi løbende deler supplerende materiale, herunder eksempler på konkrete didaktiseringer.

Materialet om logistisk vækst Vækst i nationens tjeneste (Danielsen og Sørensen, 2014) har været anvendt i forskellige sammenhænge, og vores fokusgruppe-undersøgelser har vist, at lærere, der bruger det, har meget positive erfaringer.

For at illustrere pointen om didaktiseringer til forskellige konkrete formål har vi fået lov til på hjemmesiden http://matematikhistorie.dk/logistisk-vaekst at lægge to didaktiseringer op:

1. Andreas Hermansen (Egaa Gymnasium) har benyttet materialet i en 3.g matematik-klasse med det formål at gennemgå Pierre-François Verhulsts (1804–1849) beskrivelse af Belgiens befolkningsvækst. Forløbet strakte sig over 3 lektioner, og Andreas’ didaktisering indeholder detaljerede arbejdssedler til at understøtte elevernes arbejde med kilden. På den måde er Andreas’ didaktisering en direkte, men bearbejdet, forlængelse af hovedhistorien i det udviklede materiale.

2. Aase Sejr Gothelf (Aarhus Katedralskole) har derimod benyttet materialet i et AT-forløb mellem historie og matematik med en 3.g matematik-klasse. Det overordnede emne for AT-forløbet var “Globalisering”, og materialet om Verhulst blev benyttet til i matematik-delen at behandle differentialligninger, eksponentiel og logistisk vækst, samt matematisk modellering. AT-forløbet trak også spor tilbage til et tidligere forløb om Det gode argument og integrerede med den lærebog, som klassen brugte. Aases arbejdssedler leder eleverne igennem dels en læsning af den oprindelige kilde (som Andreas’ didaktisering) men lidt mere fokuseret på udvalgte dele, arbejde med Verhulsts modelleringsproces, og endelig et supplerende materiale om løsning af differentialligninger ved separation af de variable, som gør det muligt at følge en af Verhulsts ellers uigennemskuelige udledninger.

Hvis du har lyst til at arbejde med materialet om Verhulst og logistisk vækst, så kan disse didaktiseringer måske inspirere dig til, hvordan du kan bringe materialet i anvendelse til ganske forskellige formål. Og hvis du har brugt materialet og har lyst til at dele dine didaktiseringer med og eller med kolleger, så hører vi meget gerne fra dig.

Referencer

Danielsen, Kristian, Emilie Gertz og Henrik Kragh Sørensen (2016). “Facilitating Authentic History of Mathematics in Danish Upper-Secondary Mathematics Education”. Paper accepted for TSG25 at ICME 2016 in Hamburg.

Danielsen, Kristian og Henrik Kragh Sørensen (2014). Vækst i nationens tjeneste. Hvordan Verhulst fik beskrevet logistisk vækst. København: Matematiklærerforeningen.

Posted in Matematikhistorie, Matematikhistorie i gymnasiet, Projektforslag

Livsforsikring: et SRP-forslag til matematik og fx historie

I takt med, at man — først især i England i 1600-tallet — begyndte at udtage livsforsikringer, blev demografiske forhold som dødelighed underkastet matematisk behandling. I sin simpleste form er en livsforsikring en forsikring imod en persons død inden et fastsat leveår, og formålet er at sikre efterkommere mod tidlig død. Senere er der kommet mange andre beslægtede forsikringsformer til, herunder alderspensioner etc.

For at bestemme præmien (det beløb, der skal indbetales af forsikringstageren enten løbende eller som et engangsindskud) skal forsikringsgiveren bestemme de odds der er for, at forsikringssummen kommer til udbetaling. Til at vurdere disse odds fandt bl.a. den engelske astronom og matematiker Edmund Halley (1656–1742) som en af de første på at indsamle og benytte statistiske data for en befolknings sammensætning. I 1693 udgav Halley sine data for den tyske by Breslau, idag Wrocław i Polen, i en artikel, der både introducerer demografiens status på det tidspunkt, oprindelsen af de indsamlede data, selve data og en række matematiske anvendelser af disse (Halley, 1693).

Edmund Halley, malet af Thomas Murray cirka 1687

I Halleys artikel findes dels en tabel, der for enhver alder fra 1 år til 84 år angiver antallet af personer i Breslau med den alder. Ud fra dette kan man — hvis man antager, at fødselstallene for Breslau er konstante i perioden — beregne, hvor stor sandsynligheden for at dø i det n’te leveår er. Og ud fra dette kan man beregne sandsynligheden for at overleve til fx 40 år givet, at man lige nu er fx 20 år. Det er denne sidste sandsynlighed, der er interessant for livsforsikringerne, idet den angiver (komplementet til) sandsynligheden for, at forsikringen falder til udbetaling hvis man som 20-årig tegner en forsikring imod at dø inden det fyldte 40. år.

Halley1693a-table
Halleys dødelighedstabel for Breslau (Halley 1693, 600).

I sin artikel diskuterer Halley forskellige anvendelser af sin dødelighedstabel, herunder den overfor beskrevne brug til livsforsikringer. For eksempel skriver han (Halley, 1693, s. 601–602):

So likewise for the odds, that any Person does not die before he attain any proposed Age: Take the number of the remaining Persons of the Age proposed, and divide it by the difference between it and the number of those of the Age of the Party proposed; and that shews the odds there is between the Chances of the Party’s living or dying. As for Instance; What is the odds that a Man of 40 lives 7 Years: Take the number of Persons of 47 years, which in the Table is 377, and substract [sic!] it from the number of Persons of 40 years, which is 445, and the difference is 68: Which shews that the Persons dying in that 7 years are 68, and that it is 377 to 68 or 5½ to 1, that a Man of 40 does live 7 Years. And the like for any other number of Years.

Halleys beregning er et eksempel på beregningen af en såkaldt betinget sandsyn- lighed, dvs. sandsynligheden for at hændelsen A indtræffer, givet at vi allerede ved, at hændelsen B er indtruffet. I eksemplet er hændelsen A således, at personen overlever til 47 år, og hændelsen B er, at personen overlever til 40 år. I dag skriver vi den betingede sandsynlighed for A givet B som P(A|B), og den defineres som P(A|B)= P(AB)/P(B) (se fx M. Sørensen, 2012, kap. 1). I vores tilfælde er AB, så P(AB) = P(A), hvilket giver en moderne fremstilling af Halleys formel.

Livsforsikringer kunne udgøre et glimrende emne for et SRP mellem matematik og fx historie, og de mulige tilgangsvinkler er mange. Man kunne fx tage udgangspunkt en den autentiske kilde (Halley, 1693) og behandle den matematikhistorisk for både dens matematiske indhold og den tabel med autentiske data fra Breslau, som den indeholder. Et sådant matematikhistorisk projekt vil både involvere en del matematik i at forstå og behandle Halleys tabel og i at nå frem til hans beregning af betingede sandsynligheder. Den historiske faglighed kunne komme på spil i mange former og kunne omfatte en kontekstualisering af Halleys artikel i forhold til den engelske kontekst, i forhold til datas oprindelse, og i forhold til den gryende forsikringsbranche. For sådan et projekt er den oprindelige kilde jo central, og behandlingerne kunne evt. støtte sig på fx Bellhouse (2011) og Bacaër (2011). Halleys oprindelige tabel kan også findes ved søgning på internettet, eller man kan rekvirere artiklen fra 1693.

Man kunne også vælge at fokusere på de demografiske udlægninger af Halleys og lignende data. Hvordan ser befolkningssammensætningen i Breslau for eksempel ud sammenlignet med fx Danmarks befolkning i dag? Der findes masser af data-materialer til denne sammenligning, og man kunne endda overveje spørgsmål af typen: Hvor meget dyrere er det mon (bør det være) at forsikre en ung afroamerikansk dreng på 12 år mod at dø inden det fyldte 40. leveår end en ung dreng på 12 år i Danmark mod den sam- me hændelse? Dertil kræves selvfølgelig demografiske data, og de kan nemt findes ved søgning på internettet.

Endelig kan man anlægge et samfunds- og institutionshistorisk blik ved at se på, hvordan aktuarvidenskab (matematikken om forsikringer) er blevet institutionaliseret i spændet mellem matematisk udvikling, professionalisering og behovet for at sikre det økonomiske fundament i forsikringsselskaberne. Det er en udvikling, der bl.a. i Danmark i løbet af 1800-tallet førte til, at aktuarer blev en beskyttet titel, og at et matematisk grundlag er påkrævet af forsikringsvirksomheder (se fx H. K. Sørensen, 2006).

Referencer

  • Bacaër, Nicolas (2011). “Halley’s life table (1693)”. I: A Short History of Mathematical Population Dynamics. London: Springer. Kap. 2, s. 5–10.
  • Bellhouse, David R. (2011). “A new look at Halley’s life table”. Journal of the Royal Statistical Society. A, bd. 174, nr. 3: Part 3, s. 823–832.
  • Halley, E. (1693). “An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, Drawn from Curious Tables of the Births and Funerals at the City of Breslaw; With an Attempt to Ascertain the Price of Annuities upon Lives”. Philosophical Transactions, bd. 17, s. 596–610.
  • Sørensen, Henrik Kragh (2006). “Matematik og statistik”. I: Lys over Landet, 1850– 1920. Udg. af Peter C. Kjærgaard. Dansk Naturvidenskabs Historie 3. Aarhus: Aarhus Universitetsforlag. Kap. 7, s. 193–216. isbn: 87-7934-170-5.
  • Sørensen, Michael (2012). En introduktion til sandsynlighedsregning. 13. udg. København: Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik, Københavns Universitet.