I takt med, at man — først især i England i 1600-tallet — begyndte at udtage livsforsikringer, blev demografiske forhold som dødelighed underkastet matematisk behandling. I sin simpleste form er en livsforsikring en forsikring imod en persons død inden et fastsat leveår, og formålet er at sikre efterkommere mod tidlig død. Senere er der kommet mange andre beslægtede forsikringsformer til, herunder alderspensioner etc.

For at bestemme præmien (det beløb, der skal indbetales af forsikringstageren enten løbende eller som et engangsindskud) skal forsikringsgiveren bestemme de odds der er for, at forsikringssummen kommer til udbetaling. Til at vurdere disse odds fandt bl.a. den engelske astronom og matematiker Edmund Halley (1656–1742) som en af de første på at indsamle og benytte statistiske data for en befolknings sammensætning. I 1693 udgav Halley sine data for den tyske by Breslau, idag Wrocław i Polen, i en artikel, der både introducerer demografiens status på det tidspunkt, oprindelsen af de indsamlede data, selve data og en række matematiske anvendelser af disse (Halley, 1693).

Edmund Halley, malet af Thomas Murray cirka 1687

I Halleys artikel findes dels en tabel, der for enhver alder fra 1 år til 84 år angiver antallet af personer i Breslau med den alder. Ud fra dette kan man — hvis man antager, at fødselstallene for Breslau er konstante i perioden — beregne, hvor stor sandsynligheden for at dø i det n’te leveår er. Og ud fra dette kan man beregne sandsynligheden for at overleve til fx 40 år givet, at man lige nu er fx 20 år. Det er denne sidste sandsynlighed, der er interessant for livsforsikringerne, idet den angiver (komplementet til) sandsynligheden for, at forsikringen falder til udbetaling hvis man som 20-årig tegner en forsikring imod at dø inden det fyldte 40. år.

Halley1693a-table

Halleys dødelighedstabel for Breslau (Halley 1693, 600).

I sin artikel diskuterer Halley forskellige anvendelser af sin dødelighedstabel, herunder den overfor beskrevne brug til livsforsikringer. For eksempel skriver han (Halley, 1693, s. 601–602):

So likewise for the odds, that any Person does not die before he attain any proposed Age: Take the number of the remaining Persons of the Age proposed, and divide it by the difference between it and the number of those of the Age of the Party proposed; and that shews the odds there is between the Chances of the Party’s living or dying. As for Instance; What is the odds that a Man of 40 lives 7 Years: Take the number of Persons of 47 years, which in the Table is 377, and substract [sic!] it from the number of Persons of 40 years, which is 445, and the difference is 68: Which shews that the Persons dying in that 7 years are 68, and that it is 377 to 68 or 5½ to 1, that a Man of 40 does live 7 Years. And the like for any other number of Years.

Halleys beregning er et eksempel på beregningen af en såkaldt betinget sandsyn- lighed, dvs. sandsynligheden for at hændelsen A indtræffer, givet at vi allerede ved, at hændelsen B er indtruffet. I eksemplet er hændelsen A således, at personen overlever til 47 år, og hændelsen B er, at personen overlever til 40 år. I dag skriver vi den betingede sandsynlighed for A givet B som P(A|B), og den defineres som P(A|B)= P(AB)/P(B) (se fx M. Sørensen, 2012, kap. 1). I vores tilfælde er AB, så P(AB) = P(A), hvilket giver en moderne fremstilling af Halleys formel.

Livsforsikringer kunne udgøre et glimrende emne for et SRP mellem matematik og fx historie, og de mulige tilgangsvinkler er mange. Man kunne fx tage udgangspunkt en den autentiske kilde (Halley, 1693) og behandle den matematikhistorisk for både dens matematiske indhold og den tabel med autentiske data fra Breslau, som den indeholder. Et sådant matematikhistorisk projekt vil både involvere en del matematik i at forstå og behandle Halleys tabel og i at nå frem til hans beregning af betingede sandsynligheder. Den historiske faglighed kunne komme på spil i mange former og kunne omfatte en kontekstualisering af Halleys artikel i forhold til den engelske kontekst, i forhold til datas oprindelse, og i forhold til den gryende forsikringsbranche. For sådan et projekt er den oprindelige kilde jo central, og behandlingerne kunne evt. støtte sig på fx Bellhouse (2011) og Bacaër (2011). Halleys oprindelige tabel kan også findes ved søgning på internettet, eller man kan rekvirere artiklen fra 1693.

Man kunne også vælge at fokusere på de demografiske udlægninger af Halleys og lignende data. Hvordan ser befolkningssammensætningen i Breslau for eksempel ud sammenlignet med fx Danmarks befolkning i dag? Der findes masser af data-materialer til denne sammenligning, og man kunne endda overveje spørgsmål af typen: Hvor meget dyrere er det mon (bør det være) at forsikre en ung afroamerikansk dreng på 12 år mod at dø inden det fyldte 40. leveår end en ung dreng på 12 år i Danmark mod den sam- me hændelse? Dertil kræves selvfølgelig demografiske data, og de kan nemt findes ved søgning på internettet.

Endelig kan man anlægge et samfunds- og institutionshistorisk blik ved at se på, hvordan aktuarvidenskab (matematikken om forsikringer) er blevet institutionaliseret i spændet mellem matematisk udvikling, professionalisering og behovet for at sikre det økonomiske fundament i forsikringsselskaberne. Det er en udvikling, der bl.a. i Danmark i løbet af 1800-tallet førte til, at aktuarer blev en beskyttet titel, og at et matematisk grundlag er påkrævet af forsikringsvirksomheder (se fx H. K. Sørensen, 2006).

Referencer

  • Bacaër, Nicolas (2011). “Halley’s life table (1693)”. I: A Short History of Mathematical Population Dynamics. London: Springer. Kap. 2, s. 5–10.
  • Bellhouse, David R. (2011). “A new look at Halley’s life table”. Journal of the Royal Statistical Society. A, bd. 174, nr. 3: Part 3, s. 823–832.
  • Halley, E. (1693). “An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, Drawn from Curious Tables of the Births and Funerals at the City of Breslaw; With an Attempt to Ascertain the Price of Annuities upon Lives”. Philosophical Transactions, bd. 17, s. 596–610.
  • Sørensen, Henrik Kragh (2006). “Matematik og statistik”. I: Lys over Landet, 1850– 1920. Udg. af Peter C. Kjærgaard. Dansk Naturvidenskabs Historie 3. Aarhus: Aarhus Universitetsforlag. Kap. 7, s. 193–216. isbn: 87-7934-170-5.
  • Sørensen, Michael (2012). En introduktion til sandsynlighedsregning. 13. udg. København: Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik, Københavns Universitet.

Da jeg forleden holdt foredrag om Uendelighedsbegrebets historie i Ungdommens Naturvidenskabelige Forening, var det blandt andet med det formål at inspirere 3.g-gymnasieelever til at skrive studieretningsprojekt (SRP) om et matematikhistorisk emne. Til lige netop det formål var uendelighedsbegrebet måske ikke det allerbedste valg, for selvom det er en af kulturens største historier, så skal man have nogle skarpe briller på for at finde kandidater til delprojekter, der er SRP-egnede ved at være afgrænsede og interessante både for matematik- og historiefaglighederne sådan som de kommer til udtryk i gymnasiet. Men jeg tror, det kan lade sig gøre – her kommer nogle forslag:

  • Man kunne diskutere Aristoteles’ insisteren på, at uendeligheder kun er potentielle ved dels historisk at betragte filosofiens rolle i det antikke Grækenland og dels matematisk at se på Euklids bevis for, at der findes uendeligt mange primtal (IX.20).
  • Man kunne diskutere matematikkens status i den græske kultur ved historisk at se på Archimedes’ rolle og status for tyrannen Hieron i Syracus og matematisk at behandle hans cirkeludmåling.
  • Man kunne tage udgangspunkt i Galileis Dialoger og både historisk komme ind på hans opgør med det geocentriske verdensbillede og matematisk behandle hans undren over, at der tilsyneladende er lige så mange lige tal (eller kvadrattal) som hele tal til trods for, at Euklid ellers har dikteret, at “det hele er større end en del deraf”.
  • Man kunne historisk se på Vatikanets åbning i forhold til nye naturvidenskabelige erkendelser i 1878 og matematisk se på Cantors opdagelse af forskellige kardinaliteter, hvilket Cantor faktisk selv gjorde Pavestolen opmærksom på.

Til alle disse emner (og sikkert flere) findes der litteratur, men bearbejdningen til SRP-problemformuleringer og tilhørende materialer vil stadig kræve en indsats fra lærerne.

Endelig er uendelighedsbegrebet jo også et eksempel på et matematisk begreb af stor kompleksitet, som alligevel har bred offentlig appel. Så man kunne også sagtens forestille sig et formidlings-SRP (matematik-dansk) om fx Zenons paradokser eller Hilberts Hotel. Til inspiration for sådanne projekter kunne man også skele til Open University’s serie af 60-sekunders videoklip om tænkningens historie.

Igår fik jeg endelig set “The Imitation Game” – den fiktionaliserede biografi om Alan Turing. Og den var rigtig god og klart anbefalelsesværdig både som spillefilm og for dens matematiske vinkler. Historien om hvordan den excentriske matematiker fra Cambridge formår at knække nazisternes ubrydelige kode og dermed vinde krigen for de allierede er både spændende, underholdende og tankevækkende. Og i The Imitation Game bliver det forbilledligt vævet sammen med den personlige fortælling om Turings homoseksualitet og selvmord. Og undervejs er der masser af referencer til Turings arbejder med både Turing-test, universelle beregningsmaskiner, kodebrydning og statistik, og de fleste af dem forekommer mig nogenlunde præcise. Da historien om Turing, Enigma og Bletchley Park endelig blev deklassificeret i 1980’erne, blev der lavet fremragende forskning af bl.a. David Kahn og Andrew Hodges, og senere er det blevet fulgt op, ikke mindst i forbindelse med jubilæet i 2012.

Read More

Hvad vejleder jeg?

Jeg vejleder bachelor- og specialeprojekter inden for matematikkens historie og videnskabsteori. Indholdsmæssigt er der rigtig mange muligheder, og det kan også lade sig gøre at integrere didaktiske vinkler i historiske eller filosofiske projekter.

Hvordan vejleder jeg?

Som vejleder har jeg både din proces og dit produkt for øje – jeg kan både bruges til at holde din undersøgelses- og skriveproces kørende og til faglig inspiration.

Jeg tænker på din undersøgelsesproces som opdelt i ikke-disjunkte faser: brainstorm, problemformulering, disposition og (endelig) tekst, og jeg sætter vejledningsmæssigt forskelligt ind i de forskellige faser.

Jeg vil gerne mødes og snakke med dig så snart du har en rimelig klar ide om, at du vil skrive et matematikhistoriske eller -filosofisk projekt og har tænkt over, hvilken type undersøgelse, du kunne tænke dig at lave.

Hvor og hvornår vejleder jeg?

Vejledning foregår på mit kontor 1520-331 og typisk har jeg i efteråret 2015 sat tid af til at vejlede om torsdagen. Det virker absolut bedst for os begge, hvis vi har aftalt tidspunktet i forvejen, og du bør også fortælle mig, hvad du gerne vil have vejledning omkring – så kan vi begge nå at tænke over det, inden vi mødes. En vejledningssession varer typisk 45 minutter.

Hvor meget vejleder jeg?

Jeg vejleder løbende i din proces, typisk måske hver anden uge. Der må meget gerne ligge et stykke tekst til grund for vejledningssessionen – i brainstorm- og problemformuleringsfaserne typisk løse ideer og udkast, senere tekstuddrag, som du ønsker feedback på.

Hvor meget læser jeg?

Jeg læser ikke hele din tekst før den afleveres – men jeg vil gerne læse et uddrag af din centrale analyse og et stykke af din konkluderende eller perspektiverende tekst. Disse uddrag bør ikke overstige 10 sider, og de skal sendes til mig elektronisk (pdf-format) senest 2 dage før den aftalte vejledningssession.

Hvad med workshops og materialer?

For at støtte op om dit projekt arrangerer jeg hvert semester en række af 4 workshops for de bachelor- og specialestuderende, der skriver projekter med mig som vejleder. Disse workshops er ikke obligatoriske, men jeg anbefaler meget, at du deltager. De indebærer peer-feedback på korte tekster, som deltagerne producerer, og de giver mulighed for at skærpe projektet og argumentationen.

Hvis du søger inspiration til emner eller til processen, er du også meget velkommen til at benytte min blog (www.matematikhistorie.dk) og/eller tilmelde dig Facebook-gruppen ”Matematikhistorie i Aarhus”.

Hvad forventer jeg af dig i forhold til vejledning?

Jeg forventer, at du er (med til) at sætte indhold på vejledningen: Tænk over, hvad du vil spørge om, og hvilke spørgsmål, der er vigtigst at få svar på. Tag noter under og efter vejledningen og tænk også over din egen arbejdsproces.

Jeg vil meget gerne være med til at forme og udvikle dit projekt, men jeg forventer, at du selv er aktivt opsøgende i forhold til litteratur og argumenter.

Når man vælger at skrive et matematikhistorisk projekt, følger der mange andre valg med: Hvad skal det handle om? Hvilket fokus skal der lægges? Hvilken tilgang og metode skal man benytte? For at få hul på disse spørgsmål er en brainstorm en rigtig god ide, og det er noget, jeg som vejleder finder både meget inspirerende og meget vigtigt.

For at få hul på disse spørgsmål kan det være en god ide at starte et lidt andet sted, nemlig med forudsætninger og forventninger: Hvilke kilder kan jeg komme til at benytte? Hvilke sprog kan jeg læse? Hvilke matematiske underdiscipliner vil jeg helst bevæge mig inden for? Hvordan skal de forskellige fagligheder indgå?

Det sidste spørgsmål til fagligheder peger på, at matematikhistoriske projekter typisk er to- eller flerfaglige: Man har matematikfaget (evt. statistikfaget) og historiefaget, som skal mødes – men der kan også indgå andre fagligheder som fx videnskabsteori, bredere videnskabshistorie, didaktik eller måske ens sidefag. Projekter, der tager udgangspunkt i den studerendes undren og måske i en oplevelse af mødet mellem faglighederne kan efter afgrænsning blive rigtig interessante og gode.

For at få en første inspiration til matematikhistoriske projekter med flerfaglig inddragelse samler jeg her løbende nogle korte inputs til den egentlige brainstorm. Disse input er bevidst bredt og kort beskrevet, men yderligere ideer og inspiration kan forhåbentlig også findes her på bloggen.

Generelt

  • Matematikhistoriske projekter er i sig selv tit utrolig interessante. Måske har du lært noget i et andet matematik-kursus, og undrer dig over, hvor det kommer fra. Og hvis du så graver i den historiske udvikling er det sjældent, at den er helt så oplagt, lineær og “god”, som man måske skulle tro. Det kan være, at du er interesseret i hvilke problemer fx målteori eller punktmængdetopologi blev opfundet til at løse, eller det kan være, at du har mødt et matematisk emne som elliptiske funktioner eller deskriptiv geometri, som engang var meget vigtige, men i dag ikke er med i det almindelige pensum. Hvor og i hvilken kontekst blev sådanne matematiske emner dyrket, af hvem og hvorfor er udmærkede startspørgsmål til et matematikhistorisk projekt. Undervejs kan man så få brug for at knytte matematikhistoriske, videnskabsteoretiske eller måske institutionshistoriske vinkler på for at svare på spørgsmålene – det kan være, at Lakatos eller Kitcher faktisk er givtige, eller det kan være at forklaringer skal søges i eksterne forhold som uddannelsessystemer eller emigration.
  • Hvis du har interesse for matematikundervisning kan det også være en kilde til gode projekter at undersøge hvordan matematikhistorie kan bruges til undervisning, fx på STX, i AT-forløb, i SRP eller i andre sammenhænge. Det er sjældent muligt at udvikle færdigt undervisningsmateriale, men man kan forestille sig at observere undervisning (eller andre produkter), bearbejde kilder til brug i undervisning, eller måske studere en tidligere undervisningspraksis. Det er vigtigt, at man så holder sig de didaktiske vinkler for øje – det kan være, at man skal inddrage noget teoretisk baggrundslitteratur om forløbtilrettelæggelse, om læringsteori, eller om skolehistorie.
  • En måde at indkredse et projekt på kan også være at vælge en dansk (eller skandinavisk) vinkel på et fænomen og for eksempel undersøge specifikke nedslag i matematikkens forhold og udøvelse ved danske institutioner som Københavns Universitet, Videnskabernes Selskab eller Aarhus Universitet. Det kan handle om prisopgaver, lærebøger, konferencer, undervisning, forskning og meget mere, og selvom en forbindelse til historie-faget er oplagt, er det videnskabs- og idehistorie ikke nødvendigvis centrale i historieuddannelsen.

Fysik

  • Forbindelserne mellem matematik og fysik (og astronomi) er historisk mange, og der er mange ting, man kunne vælge at undersøge. For eksempel kunne man være interesseret i at spore tilfælde, hvor nye fysiske indsigter og ny matematik er opstået i samspil – Fouriers varmelære kunne være et eksempel. Eller man kunne være interesseret i at undersøge en matematisk modellerings udvikling i fysik, kemi eller biologi. Eksemplerne er legio og kan findes i mange perioder og mange kontekster.

Historie

  • Matematikhistorie er selvfølgelig historie-fagligt i sig selv, men fordi matematik ofte er blevet dyrket af individder i en vis grad af isolation og for sin egen skyld, kan det være svært at integrere med egentlig politisk eller økonomisk historie. Men mulighederne er der – man kan undersøge matematiske argumenters indtog i forskellige politiske, juridiske eller demografiske kontekster, ligefra forholdstalsvalg over blodprøver i faderskabssager til modelling af befolkningspotentialer. Eller man kan bruge sin historiefaglighed til at lave et kildekritisk eller historiografisk projekt, der fx sætter fokus på matematikhistoriske fortolkningers begrundelser omkring geometrisk algebra, omkring det såkaldte “textual turn” eller omkring internalisme-eksternalisme-diskussionerne.

Sprogfag

  • Kendskab til fremmedsprog åbner selvfølgelig en masse muligheder for matematikhistoriske projekter, hvis man fx kan læse originalkilder på fransk eller tysk (eller latin eller arabisk). Den engelsksprogede hegemoni er nemlig i matematikken som i andre sammenhænge et nyt fænomen, og fx er hovedparten af den vigtige nye matematik i 1800-tallet forfattet på enten tysk eller fransk, og tidligere var det typiske sprog latin. Og selvom noget er oversat, så er det stadig en stor fordel at kunne konsultere originalerne.
  • Hvis man så yderligere har fx et litteraturhistorisk perspektiv kan man også undersøge nogle af de situationer, hvor matematik og den litterære kultur er mødtes – i Alice i Eventyrland eller i Flatland – eller i nyere populærkultur. Eller hvis man har sprogteoretisk sigte kan man undersøge matematiske tekster for deres semiotiske eller argumentatoriske opbygning eller undersøge nogle af bestræbelserne på at gøre matematik til et universelt sprog. Og endelig er der jo i sprogfagene også en stor kulturel og historisk dimension sådan at man fx kunne undersøge matematikkens udbredelse i et givet område – Islamisk matematik, den vestlige matematiks ankomst til Japan eller Jesuitternes brug af matematik til missionsformål.

Oldtidskundskab

  • I den græske antik var matematik og filosofi som bekendt nært forbundne, og det kunne være et interessant projekt at undersøge fx Platons brug af matematik til sine filosofiske argumenter – Menon er velkendt, men også i Timaios, Theaitetos og Parmenides indgår der matematiske argumenter. Derved kunne man også komme til at karakterisere den græske matematik og måske undersøge nogle af de matematikere, der ikke er helt så berømte som Euklid – Heron, Archimedes, Diofant, Apollonius – eller nogle af de klassiske kommentatorer til Euklid som fx Proklos og sætte dem i kontekst.

Filosofi

  • Der er rigtig mange muligheder for at undersøge filosofiske dimensioner ved matematikken i et historisk lys: Man kan undersøge bevisbegrebets udvikling fx ved Firefarvesætningen, konkrete filosofiske refleksioner over matematik hos fx Wittgenstein, Kant eller Hume, eller man kan gå ind i nogle af de nyere matematikfilosofiske diskussioner om fx matematikkens status som a priori viden eller aksiomernes begrundelser. Eller man kan vælge et stykke af den matematiske praksis ud til filosofisk undersøgelse: tillid, peer-review, problemvalg, metaforer, etc.

Religionsvidenskab

  • Der er selvfølgelig her som i andre situationer muligheden af at lave et biografisk fokus: Matematikere har igennem tiderne foruden at arbejde med matematik også være tænkende og troende mennesker, og nogle gange har det faktisk haft en forbindelse: Cantor skrev til Paven for at fortælle om sine opdagelser omkring uendelighedsbegrebet og Pearsons statisktiske arbejder kan næppe forståes uden for deres kulturelle og kognitive kontekst, herunder religiøse spørgsmål. Der er også muligheden for at bruge nogle af de analytiske kompetencer (antropologi, myter) etc. til at undersøge en matematisk praksis, heltedyrkelsen af en matematiker, eller geniets rolle og status i en given, afgrænset kontekst.

Datalogi

  • Datalogi er jo i sig selv udsprunget (blandt andet) af matematik, så datalogihistorie kan godt gøres til matematikhistorie. Man kan vælge mange tematikker ud fra informationsteori, kryptering, computerudvikling, kodebrydning, kunstig intelligens, numerisk matematik og meget andet.

Norsk frimærke udgivet i 1929 i anledning af 100-året for Abels dødDen 5. august 2015 er det 213 år siden, at den norske matematiker Niels Henrik Abel blev født, og selvom jubilæet ikke er rundt, giver det mig anledning til at tænke over, hvori en matematikers liv består: Hvad var det, der gjorde Abel berømt? Og hvilken relevans har det for os i dag? Og hvordan fortæller man det?

Abel er blevet fejret stort i flere omgange i forbindelse med hans runde jubilæer: I 1902 blev 100-året for hans fødsel en anledning til en national fejring og manifestation af alt norsk, og i forbindelse med den ikke mindre fejring i 2002 indstiftedes Abel-prisen for matematik, som siden er blevet uddelt hvert år for store matematiske præstationer.

Begge disse jubilæer har – sammen med andre manifestationer som fx frimærker, pengesedler og mønter og en national matematikkonkurrence for skoleelever – i høj grad medvirket til at gøre Abel til et navn, som enhver nordmand kender.

Hvis man nu gerne vil præsentere denne usædvanlige matematiker for fx en gymnasieklasse, hvad er det så, man fortæller?

Read More

Mie Johannesen har forsvaret sit speciale om matematikhistorie i SRP, og hun har nået nogle meget spændende indsigter og konklusioner på grundlag af omfattende spørgeskemaundersøgelser blandt elever og analyser af stillede problemformuleringer. Hendes resultater munder ud i en række forslag til hvordan man i endnu højere grad kan få fagene historie og matematik til at spille sammen ved hjælp af kildebaseret matematikhistorie. Jeg håber meget, at Mie vil formidle sine indsigter og kommunikere dem ud i gymnasieverdenen, hvor jeg tror de vil være gode indspark i den vigtige, igangværende udvikling af SRP.

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Slut dig til de 210, der følger denne blog