Posted in Matematik i Danmark, Matematikhistorie, Mathematics and Culture

Jordforbindelser: Landskabsmaleri og matematik

I 2018-2019 viser fire danske kunstmuseer særudstillingen “Jordforbindelser: Dansk maleri 1780-1920 og det antropocæne landskab” udviklet af Gry Hedin, Gertrud Oelsner og Thor J. Mednick. I både udstillingen og udstillingskataloget integreres kunsthistoriske, kulturhistoriske og videnskabshistoriske perspektiver på Danmarks jord og landskab.

Det flotte og gennemillustrerede katalog er udgivet på Aarhus Universitetsforlag. Blandt katalogets artikler har jeg bidraget med “At tegne landet”, der trækker forbindelser mellem landskabsmaleriet og Danmarks kortlægning i det lange 1800-tal. Kataloget kan – ideelt set i samspil med besøg i udstillingen – tjene til faglige samarbejder i gymnasiet mellem historie, dansk, billedkunst, naturgeografi og matematik.

Udstillingen blev åbnet på Faaborg Museum søndag 14. januar 2018 i overværelse af bl.a. energi-, forsynings- og klimaminister Lars Chr. Lilleholt (V), der beskrev særudstillingen som en vandrepokal, idet den vises på fire kunstmuseer rundt om i landet i ganske forskellige landskaber:

Se også:

Reklamer
Posted in Matematikhistorie

SRP i græsk matematik – hvordan kan man tilgodese både matematik og historie?

Nu er det snart SRP-tid igen, og en af de helt store kombinationer er matematik og historie. Men det er ikke altid nemt at få problemformuleringen til at hænge sammen og integrere de to fag, så opgaven ikke bliver en “parallelopgave”.
Et af de hyppige emner er græsk matematik i kombination med historie. Men selvom Euklids Elementer er matematikhistorisk utroligt vigtige, er det ikke så oplagt, hvordan man integrerer historiefagets hensyn, så det ikke “bare” bliver til kontekst og indhold. Heldigvis er der muligheder, hvis man tænker bare en lille smule ud af boksen, men de skal stadig formes i samspil mellem elev, historie- og matmatiklærer:
  • I samspil med oldtidens filosofi og demokratiske debatform har matematikkens logiske argumentationsform udviklet sig. Dette kaldes nogle gange for “Det græske mirakel”, og der er glimrende materiale til forholdet mellem Euklid og Platon i
    Glunk, Claus m.fl. (2006). Q. E. D. Platon og Euklid tegner og fortæller. København: Gyldendal.
  • Euklids parallelpostulat, som sikrer at vinkelsummen i enhver trekant er 180 grader, blev i starten af 1800-tallet udsat for en matematisk kritik, der viste muligheden af en ikke-euklidisk geometri. Dette var kraftigt medvirkende til, at matematikken omkring 1900 blev frigjort fra naturbeskrivelsen. Dette henviser man nogle gange til som at “matematikken blev moderne”.
  • Euklids Elementer har været undervisningsstof i latinskolen og gymnasiet indtil 1910 – man kan godt undre sig over, hvad det var, elever skulle lære af at trækkes igennem bog I af Elementerne. Dette kan man undersøge som “Elementernes formaldannende begrundelse”.
  • Euklid var langt fra den eneste græske matematiker, og selvom vi i dag lægger stor betydning til Elementerne var der også andre matematiksyn, som fx Herons mere ingeniøragtige betragtninger i Metrica, som dog også værdsætter og begrunder nytten af det matematiske bevis. Det kunne man bruge til at sætte matematikken ind i dens praktiske brug i oldtiden (og middelalderen) til landmåling, belejringsmaskiner, etc., og der er kildecentreret materiale til det i vores hæfte Kristian Danielsen og Henrik Kragh Sørensen. Herons formel. Hvordan en aleksandriner fik sat mål på alle slags trekanter. København: Matematiklærerforeningen, 2016.
  • Hvis man ikke hænger fast i Euklid kan man også diskutere forholdet mellem matematik og klassisk æstetik og arkitektur hos fx Vetruv (se Kristian Danielsens post i LMFK-bladet: http://lmfk.dk/artikler/data/artikler/1702/1702_06.pdf)
[Dette er ansporet af korrespondance med gymnasieelever og deres lærere. Kommentarer og diskussion er meget velkomment, fx på Facebook-gruppen.]

Da bankbøger var lavet af træ

En gang brugte man træpinde (såkaldte tally-sticks) til at holde styr på indgåede lån. Disse træpinde kom til at repræsentere værdi i sig selv og blev dermed en slags penge. Da man i 1834 bestemte sig for at afskaffe systemet i England og brænde træpindene havde man nær brændt Westminster Palace ned.

Læs mere på BBC.

Posted in Herons formel, Matematikhistorie, Matematikhistorie i gymnasiet

Materiale om Herons formel udkommet

I december 2016 udkom det materiale om Herons formel til kildecentreret matematikhistorie, som jeg har udarbejdet sammen med Kristian Danielsen.

I forbindelse med materialet har vi lavet en hjemmeside her på matematikhistorie.dk.

Der er også mulighed for at se et foredrag, som jeg har holdt om Herons formel og materialet, rettet mod gymnasieklasser.

hks2016m

Hvis du har erfaringer med materialet, hører vi meget gerne fra dig.

Posted in Matematikhistorie, Matematikhistorie i gymnasiet

Herons formel: Kildecentreret matematikhistorie til STX

Sammen med Kristian Danielsen har jeg udarbejdet et nyt materiale til brug for kildecentreret matematikhistorie i gymnasiet. Materialet handler om Heron’s formel, hvorved man kan bestemme arealet af en vilkårlig trekant ud fra kendskabet til trekantens sider.

Materialet er udkommet hos Matematiklærerforeningens Bogsalg i december 2016. Denne side indeholder nogle supplerende materialer, som understøtter brugen af hæftet i undervisningen.

En kort metode-indføring til kildecentreret matematikhistorie

Jeg har skrevet nogle refleksioner og noter fra min undervisning i forskellige kurser sammen til en kort indføring i kildecentreret matematikhistorisk metode og lagt den ud på Center for Videnskabsstudiers preprint-serie kaldet RePoSS. Det er helt sikkert ikke det sidste ord i den sag, så kommentarer og forslag modtages meget gerne.

Continue reading “En kort metode-indføring til kildecentreret matematikhistorie”

Posted in Logistisk Vækst, Matematikhistorie, Matematikhistorie i gymnasiet

Kildecentreret matematikhistorie i gymnasiet: Multi-purpose materialer og didaktisering

I arbejdet med at udvikle materialer til kildecentreret matematikhistorie i gymnasiet
anlægger vi tre fundamentale principper, nemlig

  1. at materialet er centreret om en kilde, som er udvalgt i en dialektisk proces defineret af kildens muligheder og undervisningens formål,
  2. at det materiale, som vi udvikler, er rettet mod læreren og muliggør adskillige forskellige anvendelser i undervisningen,
  3. at den egentlige didaktisering til den konkrete undervisningssituation er overladt til læreren på grundlag af information og inspiration fra materialet (se også Danielsen, Gertz og Sørensen, 2016).

I arbejdet med at udvælge materialer at arbejde med, anvender vi derfor typisk en proces som er stiliseret i figur 1.

blog-didaktisering-crop-0

Denne proces tager, ligesom hele tilgangen og det endelige produkt, kilden som sit udgangspunkt. Den består af 5 delprocesser svarende til de fem centrale elementer, som skal udgøre det færdige materiale:

  1. Kilden identificeret og afgrænset og (1a) oversat til dansk.
  2. Kontekstualisering (identifikation og tekstproduktion).
  3. Forklaring og udfoldning (identifikation og tekstproduktion).
  4. Undervisningsdesigns identificeret og (4a–4c) beskrevet.
  5. Introduktion til elever (og lærer) med situering.

Processerne 1 og 4 i figur 1 er nært forbundne, idet langt fra alle kilder tillader relevante undervisningsformål, ligesom det kan vise sig svært at finde kilder, der understøtter ønskede formål defineret af fx et emne fra kernestoffet. Derfor udgør 1 og 4 en dialektisk proces, hvor kilde og formål afstemmes efter hinanden (se figur 2), og nogle kilder og formål må simpelthen opgives (i hvert fald for nuværende), hvis processen ikke konvergerer. Derfor har vi også et idekatalog med skuffeprojekter, hvor vi løbende samler ideer og skitser, men før kilde og formål går op i en højere enhed, giver projektet ikke mening og må tilbage i skuffen.

blog-didaktisering-crop-1

Kildevalget udgør således den ene afgrænsning af materialeudviklingen: Hvilke materialer kan overhovedet udvikles? Den anden afgrænsning handler om, hvordan produktet skal være, og her siger multi-purpose-tilgangen, at materialet skal lægge op til og understøtte lærerens konkrete didaktisering til et bestemt undervisningsformål (se figur 3).

blog-didaktisering-crop-2

I forlængelse af den foregående observation er det her vigtigt at huske, at ikke alle formål er lige relevante for en given kilde. Men læreren skal alligevel tilpasse kilden og materialet til sin undervisningssituation og selv mestre pointerne på et niveau, der tillader at undervise i dem.

Til materialerne er knyttet en hjemmeside (her på http://www.matematikhistorie.dk/), hvor vi løbende deler supplerende materiale, herunder eksempler på konkrete didaktiseringer.

Materialet om logistisk vækst Vækst i nationens tjeneste (Danielsen og Sørensen, 2014) har været anvendt i forskellige sammenhænge, og vores fokusgruppe-undersøgelser har vist, at lærere, der bruger det, har meget positive erfaringer.

For at illustrere pointen om didaktiseringer til forskellige konkrete formål har vi fået lov til på hjemmesiden http://matematikhistorie.dk/logistisk-vaekst at lægge to didaktiseringer op:

1. Andreas Hermansen (Egaa Gymnasium) har benyttet materialet i en 3.g matematik-klasse med det formål at gennemgå Pierre-François Verhulsts (1804–1849) beskrivelse af Belgiens befolkningsvækst. Forløbet strakte sig over 3 lektioner, og Andreas’ didaktisering indeholder detaljerede arbejdssedler til at understøtte elevernes arbejde med kilden. På den måde er Andreas’ didaktisering en direkte, men bearbejdet, forlængelse af hovedhistorien i det udviklede materiale.

2. Aase Sejr Gothelf (Aarhus Katedralskole) har derimod benyttet materialet i et AT-forløb mellem historie og matematik med en 3.g matematik-klasse. Det overordnede emne for AT-forløbet var “Globalisering”, og materialet om Verhulst blev benyttet til i matematik-delen at behandle differentialligninger, eksponentiel og logistisk vækst, samt matematisk modellering. AT-forløbet trak også spor tilbage til et tidligere forløb om Det gode argument og integrerede med den lærebog, som klassen brugte. Aases arbejdssedler leder eleverne igennem dels en læsning af den oprindelige kilde (som Andreas’ didaktisering) men lidt mere fokuseret på udvalgte dele, arbejde med Verhulsts modelleringsproces, og endelig et supplerende materiale om løsning af differentialligninger ved separation af de variable, som gør det muligt at følge en af Verhulsts ellers uigennemskuelige udledninger.

Hvis du har lyst til at arbejde med materialet om Verhulst og logistisk vækst, så kan disse didaktiseringer måske inspirere dig til, hvordan du kan bringe materialet i anvendelse til ganske forskellige formål. Og hvis du har brugt materialet og har lyst til at dele dine didaktiseringer med og eller med kolleger, så hører vi meget gerne fra dig.

Referencer

Danielsen, Kristian, Emilie Gertz og Henrik Kragh Sørensen (2016). “Facilitating Authentic History of Mathematics in Danish Upper-Secondary Mathematics Education”. Paper accepted for TSG25 at ICME 2016 in Hamburg.

Danielsen, Kristian og Henrik Kragh Sørensen (2014). Vækst i nationens tjeneste. Hvordan Verhulst fik beskrevet logistisk vækst. København: Matematiklærerforeningen.