Posted in Matematikhistorie

Parallelle linjer skærer aldrig!

C. F. Gauss

For et års tid siden blev jeg kontaktet af en kollega ved et andet institut, som ønskede at vide, om den tyske matematiker C. F. Gauss “for længe siden” havde bevist, at “i en tredimensional verden ville parallelle linjer løbe sammen”. Spørgsmålet viser hen til en af de store idéhistoriske opdagelser, som matematikken gjorde i 1800-tallet, men at svare på det er ikke helt så enkelt.

For det første er det nødvendigt at få nogle fagtermer på plads. I matematikken er parallelle linjer per definition aldrig skærende – det er netop definitionen på parallelle linjer, at de ikke skærer hinanden! Siden antikken og indtil 1820 arbejdede man næsten udelukkende med et aksiomssystem (for såkaldt ”euklidisk geometri”), hvor parallelitet i planet faldt sammen ”ækvidistans” (dvs. parallelle linjer i det euklidiske plan har altid samme [vinkelrette] afstand fra hinanden). I dette system er parallelle linjer i et plan til en given linje igennem et givent punkt unikke (entydigt bestemte).

Fordi de to begreber “parallel” og “ækvidistant” er sammenfaldende for rette linjer i planet har mange matematikere igennem tiden forsøgt sig med at bytte det ene ud med det andet. Således også danske H. C. Ørsted i sit forsøg på at lave en fremstilling af geometrien baseret på “genetiske” principper – hvilket i sidste ende vil sige bevægelse.

I det euklidiske rum giver parallelitet af linjer knap så megen mening, da der er uendeligt mange parallelle linjer til en given linje og gennem et punkt uden for linjen (nemlig hele det plan, der står vinkelret på den vinkelrette forbindelse mellem linjen og punktet).

Men i 1820’erne fandt Gauss (og andre, nemlig ungareren Bolyai og russeren Lobachevsky) frem til at man kunne aksiomatisere en teori for ”ikke-euklidisk” geometri, hvori parallelle linjer i et plan ikke er entydige, men uendelige i antal, men hvor to skiller sig ud som de asymptotiske parallelle linjer.

Sådanne ikke-euklidiske geometrier kaldes også for “hyperbolske geometrier”, og der findes også en tredje slags geometri med konstant krumning, nemlig den “elliptiske”, som man fx finder på overfladen af en basketbold, hvor man som “rette linjer” definerer storciklerne.

De tre slags geometrier med konstant krumning

Der er altså ikke meget mening eller rigtighed i spørgsmålet som det er stillet. Men man kunne formulere noget i stil med, at Gauss i 1820’erne fandt ud af, at man kunne have geometrier hvori parallelle linjer (i betydningen ikke-skærende linjer) asymptotisk nærmer sig hinanden. Men så er der altså også et par abstraktionsniveauer i forhold til den oprindelige korte sætning.

Hvad angår en reference, så er det svært at henvise til Gauss på dette punkt, fordi han notorisk ikke ville publicere om det ”af frygt for Boeternes skrig”. Men der er masser af matematikhistorisk litteratur omkring opdagelsen af ikke-euklidisk geometri, hvoraf nogle af standardværkerne er:

  • Bonola, R. (1955). Non-Euclidean Geometry. Oversat af H. S. Cartan. New York: Dover Publications, Inc.
  • Gray, J. J. (2004). János Bolyai, Non-Euclidean Geometry and the Nature of Space. Burndy Library Publications, New Series 1. Cambridge (Mass): Burndy Library.
  • Stäckel, P. og F. Engel (1895). Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss. Eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der nichteuklidischen Geometrie. Leipzig: B. G. Teubner. Genoptrykt 1968 New York: Johnson Reprint Corporation.

Man kan også finde en kort introduktion til nogle af disse tematikker i:

  • Sørensen, H. K. (2008). “Romantikkens ligninger—matematikkens genier”. I: Romantikkens Verden: Natur, menneske, samfund, kunst og kultur. Ed. by O. Høiris and T. Ledet. Århus: Aarhus Universitetsforlag, pp. 551–566. ISBN: 978-87-7934-246-0.

Forfatter

Lektor i matematikkens historie ved Center for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet.

Skriv et svar

Udfyld dine oplysninger nedenfor eller klik på et ikon for at logge ind:

WordPress.com Logo

Du kommenterer med din WordPress.com konto. Log Out / Skift )

Twitter picture

Du kommenterer med din Twitter konto. Log Out / Skift )

Facebook photo

Du kommenterer med din Facebook konto. Log Out / Skift )

Google+ photo

Du kommenterer med din Google+ konto. Log Out / Skift )

Connecting to %s