Posted in Matematikhistorie, Matematikken i Antikken

Er universet lavet af trekanter?

Gud skabte universet, og fordi Gud er god skabte han det perfekt, og intet er mere perfekt end det harmoniske og proportionerede, så derfor byggede Gud universet af retvinklede trekanter. Sådan argumenterede i hvert fald Timaios fra Lokri i Platons dialog af samme navn for snart 2500 år siden.

Siden er netop Timaios-dialogen blevet debatteret fra mange sider – i den fremsætter Platon en særligt klar version af sin dualistiske filosofi ifølge hvilken den “ægte væren” kun tilhører ideernes abstrakte verden, hvorimod den sanselig verden, som vi lever i, blot er en afglans. På grund af dialogens berømmelse er det også netop en bog med titlen “Timaios” på ryggen, som Platon bærer under armen på Rafaels berømte billede af “Skolen i Athen” (c. 1510).

I dialogen Timaios fremlægger titelpersonen en længere monolog, som forklarer Skaberens indretning af Verdensaltet. Undervejs i argumentet indgår der adskillige matematiske argumenter, som siger meget om den nære forbindelse mellem matematik og filosofi i Platons tænkning.

Ifølge Timaios er det klart, at alle ting i universet er synlige og rumlige. Derfor er de – sådan argumenterede han – skabt ud fra ild (lys) og jord (soliditet). Og fordi alle rumlige objekter er afgrænset af flader, og fordi alle (retlinjede) flader kan konstrueres fra trekanter, må alle ting i universet være opbygget af trekanter.

At verden er rumlig blev også benyttet i det næste argument, nemlig for, at der er fire elementer. For at der skal dannes en forbindelse mellem de to ekstreme elementer – jord og ild – må der være et forbindelsesled – eller i græske termer en “mellemproportional”. At B er en mellemproportional mellem A og C var et velkendt græsk matematisk begreb, som betyder at A forholder sig til B, ligesom B forholder sig til C – altså A:B=B:C. Sådanne mellemproportionaler kunne grækerne konstruere med passer og lineal, men når det gjaldt rumlige former insisterede Timaios på at bruge to sammenhængende mellemproportionaler, vand og luft. Pointen var så, at jord forholder sig til vand ligesom vand til luft og luft til ild (B og C er koblede mellemproportionaler mellem A og D når A:B=B:C=C:D). Sådan argumenterede Timaios for fire-elementlæren, som dikterede at verden er opbygget af de fire elementer jord, vand, luft og ild.

Men ikke nok med, at alle disse elementer åbenbart er helt trekantede – selv disse byggesten kunne Timaios reducere til nogle få (to) helt basale former, ud fra hvilke alle de andre kan bygges. Han argumenterede for, at de pæneste trekanter er de retvinklede, og iblandt disse er den ligebenede trekant utvivlsom pæn og unik, mens den pæneste blandt de øvrige uendelig mange kombinationer er den trekant, der er halvdelen af en ligesidet trekant.

Ved at sætte trekanter sammen kunne Timaios så opbygge de to basale flader: kvadrater og ligesidede trekanter, og ud fra disse kunne Timaios konstruere de første fire regulære polyedre, nemlig tetraederet, kuben, oktaederet og ikosaederet. At disse figurer er regulære polyedre angiver, at deres flader er dannet af ens, regulære polygoner, hvor en polygon er regulær, hvis alle dens sider og vinkler er ens.

Disse fire figurer tilegnede Timaois så de fire elementer, således at kuben tilknyttes jord, ikosaederet tilknyttes vand, oktaederet tilknyttes luft og tetraederet tilknyttes ild.

Men fra matematikerne vidste Timaios, at der fandtes et femte regulært polyeder, nemlig dodekaederet, så det knyttede Timaios til himmelkuglen. Dette “femte element” (kvint-essensen) er så siden gået over i sprogbrug som indbegrebet af væren, og der knyttedes til det en række ideale egenskaber.

Hvad der er nok så bemærkelsesværdigt er at betragte den form for kosmologi og fysik, som fremsættes i dialogen – og især den rolle, som matematik spiller deri. Bag skabelsesberetningen ligger en præmis om, at skaberen ønskede at skabe et harmonisk univers, hvilket for grækerne pegede på matematiske begreber om proportion og symmetri. Ud fra viden om hvordan figurer kan dekomponeres til trekanter og viden om hvordan trekanter kan sættes sammen til de regulære polyedre igen opnåede Timaois at konstruere de fire elementer. Men da matematikerne vidste, at der fandtes yderligere et regulært polyeder blev fire-element-teorien udvidet med et femte element, som blev knyttet til dodekaederet. Alt dette blev gennemført “top-down” fra logiske og matematiske argumenter grundet i første principper om skønhed, proportion og symmetri. Men det var ikke alt, for Timaios kunne faktisk også forklare fysiske fænomener ud fra sin teori. For eksempel fremgik det af teorien, at jord og ild ikke kan omdannes fra den ene til den anden – de er nemlig opbygget af forskellige elementære trekanter. Og videre kunne ildens gennemtrængende egenskaber forklares ved, at tetraederet er det “letteste” (mindste) og “spidseste” af de regulære polyedre. Det kan man da kalde en matematisk forklaring i fysikken!

Referencer og yderligere læsning
  • B. Artmann og L. Schäfer (1993). “On Plato’s “Fairest Triangles” (Timaios 54a)”. Historia Mathematica, bd. 20, nr. 3, s. 255–264.
  • F. M. Cornford, red. (1937). Plato’s Cosmology. The Timaeus of Plato translated with a running commentary. London: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co. Ltd.
  • Platon (1955). “Timaios”. I: Platons Skrifter. Bd. 8. Udg. og med en indledning skrev. af C. Høeg. Oversat af P. J. Jensen. 10 bd. København: C. A. Reitzels Forlag, s. 7–112.
  • D. Zeyl (2009). “Plato’s Timaeus”. I: The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Udg. af E. N. Zalta. Spring 2009.

Forfatter

Lektor i matematikkens historie ved Center for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet.

2 thoughts on “Er universet lavet af trekanter?

Skriv et svar

Udfyld dine oplysninger nedenfor eller klik på et ikon for at logge ind:

WordPress.com Logo

Du kommenterer med din WordPress.com konto. Log Out / Skift )

Twitter picture

Du kommenterer med din Twitter konto. Log Out / Skift )

Facebook photo

Du kommenterer med din Facebook konto. Log Out / Skift )

Google+ photo

Du kommenterer med din Google+ konto. Log Out / Skift )

Connecting to %s