Posted in Matematikhistorie, Matematikken i Antikken

Græske forhold: Ikke alle forhold er gyldne

I antikken var græske filosoffer, arkitekter, musikteoretikere, skulptører og matematikere optagede og fascinerede af forhold – eller proportioner – harmoni og symmetri. Men opfattelsen af at antikke kunstnere og arkitekter benyttede det gyldne forhold er med stor sikkerhed en myte.

Pythagoræernes lære

En meget vigtig tendens i den antikke matematik går tilbage til pythagoræernes sekt o. 525 f.v.t. som hævdede at alt er ordnet i overensstemmelse med tal.

Man kan illustrere Pythagoræernes indsigt ved hjælp af en såkaldt monokorde – som de også var bekendte med. Hvis man fastsætter længderne af de to udspændte strenge i forholdet 1:2, – altså den ene dobbelt så lang som den anden – så klinger strengene harmonisk med hinanden. Dette er ikke tilfældet på nær for forhold mellem små heltal. Pythagoræerne identificerede forholdet 1:2 med oktaven, 2:3 med kvinten og 3:4 med kvarten og byggede en musikteori på sådanne harmoniske forhold.

Harmoniske forhold i brug

Den græske skulptør Polyklet fra Argos siges i det femte århundrede f.v.t. at have beskrevet hvordan æstetikken i menneskekroppen og dermed i skulpturer er baseret på forholdet mellem simple heltal – harmoniske proportioner. Denne indsigt skulle han have videregivet i værket Kanon, og hans berømte skulptur Skulpturen Spydbæreren er af samme grund også sommetider refereret til ved dette navn som betyder ”målestok”, ”regel” eller ”rettesnor”.

Tilsvarende er det berømte Parthenon-tempel på Akropolis er et eksempel på harmoniers rolle i arkitektur. Grundplanen, facaden, friserne og mange andre forhold vidner om udbredt brug af harmoniske proportioner.

Også i filosofien var proportioner en gængs fagterm og metafor. Et af de mest berømte eksempler er måske Platons linjelignelse fra Staten, hvori han forklarer den sanselige verdens forhold til den ideale verden ved at opstille en sammensat proportion.

En anden fascinerende anvendelse af forholdslæren kan man finde i Platons kosmologiske dialog Timaios (se også en tidligere blog). Dér benytter titelfiguren matematiske forhold til at beskrive og forklare en kosmologi bygget op af de fire elementer, der igen selv er bygget op af smukke trekanter. De fire elementer jord, vand, luft og ild blev hver knyttet til regulære, konvekse polyedre, men fra matematikerne vidste man at der fandtes et femte regulært polyeder – dodekaederet – som så blev knyttet til firmamentet som det ”femte element” eller ”kvintessensen”.

Og i dodekaederets centrale figur – femkanten – indgår et særligt forhold, som pythagoræerne sikkert også havde kendt til – senere kendt som ”det gyldne forhold”.

Gyldne eller guddommelige forhold

I den græske matematiks hovedværk – samlet af Euklid fra Alexandria i form af Elementerne omkring 295 f.v.t. – findes et resultat, som handler om at dele et linjestykke i to dele, således at den mindste del forholder sig til den større del ligesådan som den største del forholder sig til hele linjestykket.

I matematiske termer er det altså spørgsmålet om at dele linjestykket AB i C således at AC:CB=CB:AB. Dette problem kaldes hos Euklid for at ”højdele linjen” og forholdene kaldes ekstreme og middel forhold. I moderne notation svarer dette forhold til  \frac{1+\sqrt5}{2} , som altså er irrationalt og netop ikke harmonisk. Langt senere – hos renæssancekunstneren og matematikeren Luca Pacioli – bliver dette forhold kaldt ”det guddommelige forhold” og forbundet med alskens æstetiske og religiøse konnotationer.

Ikke alle forhold er gyldne

Men ikke alle forhold er gyldne. Når vi ofte møder påstanden at grækerne i deres skulpturer og arkitektur benyttede det gyldne eller guddommelige snit eller forhold, så er der tale om en ubegrundet myte. Der findes ikke – hverken i antikke eller renæssancekilder noget belæg for at kunstnere skulle have benyttet det gyldne snit. Der findes til gengæld talrige henvisninger til harmoniske forhold – pythagoræiske forhold – som æstetisk attråværdige. Forhold mellem små heltal ville – således renæssancemaleren og teoretikeren Alberti – betyde, at ”hvis en bygning er tegnet efter de samme numeriske proportioner (som de pythagoræiske forhold), ville det fryde øjet lige så meget som musikken behager øret”. Men ikke et ord om gyldne eller guddommelige forhold.

Så hvor kommer så denne misforståelse fra? Det er muligt, at opfattelsen af at renæssancekunstnere fandt gyldne snit i den menneskelige anatomi stammer fra en omstændighed ved udgivelsen af Paciolis ”De divina proportione” (1509). Klummetitlerne fra afsnittet om det guddommelige snit er nemlig blevet videreført på en tegning af det menneskelige ansigt, hvor pointen dog er, at alle forholdene er (almindelige) harmoniske forhold. Og også Leonardos berømte Vitruviske mand er – i overensstemmelse med Vitruvs tanker – dimensioneret efter harmoniske – ikke gyldne – forhold.

Opfattelsen af at kunstnere i antikken og renæssancen skulle have brugt det gyldne snit kan formentlig spores tilbage til den tyske filosof og æstetiker Adolf Zeising. Zeising var en alsidig intellektuel som i 1850’erne blev stærkt interesseret i det gyldne snit. Han fandt det dybt fascinerende og var imponeret over hvordan det dukkede op i meget forskellige naturlige sammenhænge. Han var endvidere overbevist om, at tidligere tiders kunstnere og arkitekter var meget inspireret af naturen og at de derfor ikke kunne undgå at inddrage det gyldne snit i deres kompositioner. Påstanden om at brugen af det gyldne snit skulle være et bevidst kompositionsprincip blev så til senere i det 19. århundrede og siden har myten været meget levedygtig og næsten umulig at udrydde.

Referencer

Andersen, K. og M. V. Laursen (sep. 2011). “Ikke alle skæringer er gyldne. En udbredt misforståelse om anvendelse af det gyldne snit før anden halvdel af 1800-tallet”. LMFK-bladet, bd. 33, nr. 4, s. 21, 24–25.

Sørensen, H. K. (2011). “At begribe det ubegribelige: Matematikkens antikke verden”. I: Antikkens Verden. Udg. af O. Høiris m.fl. Aarhus: Aarhus Universitetsforlag, s. 121–136.

Forfatter

Lektor i matematikkens historie ved Center for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet.

One thought on “Græske forhold: Ikke alle forhold er gyldne

Skriv et svar

Udfyld dine oplysninger nedenfor eller klik på et ikon for at logge ind:

WordPress.com Logo

Du kommenterer med din WordPress.com konto. Log Out / Skift )

Twitter picture

Du kommenterer med din Twitter konto. Log Out / Skift )

Facebook photo

Du kommenterer med din Facebook konto. Log Out / Skift )

Google+ photo

Du kommenterer med din Google+ konto. Log Out / Skift )

Connecting to %s