Igennem 1800-tallet gennemgik analysen en udvikling, hvor især geometriske intuitioner og formelle argumenter baseret på “algebraens generalitet” blev erstattet med en aritmetisk funderet teori om grænseprocesser (for en introduktion, se fx Sørensen, 2013). Denne proces mod øget “stringens” kaldes nogle gange for “rigorisering” og andre gange, mere præcist, for “aritmetisering” fordi numeriske uligheder kom til at erstatte formelle og intuitive argumenter. Som sådan er denne udvikling vel beskrevet i matematikkens historie (nogle af klassikerne er Bottazzini, 1986; Grabiner, 1981; Grabiner, 2005). Blandt de store navne nævnes typisk Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) og Karl Weierstrass (1815–1897), og udviklingen synes blandt de ledende, især tyske, matematikere at være næsten afsluttet, da århundredet løb ud. Men hvordan endte denne ide med at komme til at definere matematikkens udvikling i det 19. århundrede?
Næsten samtidig — i det halve århundrede omkring 1900 — skabtes et nyt matematisk forskningsmiljø i USA. I 1875 fandtes næsten ingen muligheder for matematisk forskning, men det ændrede sig da den engelske matematiker James Joseph Sylvester (1814–1897) i 1876 blev kaldet til en stilling ved det nye (og forsknings-baserede) Johns Hopkins University i Baltimore (Parshall og Rowe, 1989; Parshall og Rowe, 1994). Sylvester trænede nye forskere, men hans ideosynkratiske stil, hans valg af emner og hans karisma kunne ikke erstattes da han døde. I stedet rejste mange unge amerikanske matematikere til Tyskland for at forfølge ph.d.-studier, især hos Felix Klein (1849–1925). Og Klein blev vigtigt for at opbygge en egentlig forskningstradition i USA (Parshall og Rowe, 1989; Parshall og Rowe, 1994).
I forbindelse med The World’s Columbian Exhibition i 1893 besøgte Klein USA og holdt en række foredrag. Det var samtidig en periode, hvor amerikanske matematikere organiserede sig i AMS og begyndte at udgive Bulletin of the American Mathematical Society. I et af de første årgange publicerede Klein en artikel om aritmetisering, og denne blev kort efter fulgt op af James P. Pierpont (1866–1938) (Pierpont, 1899). Det er i sig selv interessant at undersøge, hvorvidt de to forfattere taler om det samme fænomen og de samme eksempler. Pierpont bidrog også senere til at skrive historien om matematikkens udvikling i det 19. århundrede og især om tiltagene til stigende stringens (Pierpont, 1928; Pierpont, 2000).
Det er altså interessant at se, hvordan denne vigtige matematiske udvikling kaldet “aritmetiseringen” — som først og fremmest var et europæisk (og især tysk) fænomen — blev modtaget og fremstillet af amerikanske matematikere omkring år 1900. Det giver mange gode muligheder for projekter: 1) Man kan analysere tilbage til de europæiske udviklinger for at efterprøve og uddybe Kleins og Pierponts analyser. 2) Man kan sætte Klein og Pierpont ind i en amerikansk professionaliseringskontekst evt. ved at sammenligne til de få tilsvarende ytringer om stringens, vi har i Danmark (Sørensen, 2006). Og 3) man kan se på fænomenet som et eksempel på internationalisering af matematikken omkring 1900 og evt. også inddrage de første internationale konferencer (Parshall, 2000; Parshall, 2009; Parshall og Rice, 2002)
Bibliografi
Bottazzini, U. (1986). The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. New York: Springer-Verlag.
Grabiner, J. V. (1981). “Changing Attitudes Toward Mathematical Rigor: Lagrange and Analysis in the Eighteenth and Nineteenth Centuries”. I: Epistemological and Social Problems in the Sciences in the Early Nineteenth Century. Udg. af H. N. Jahnke og M. Otte. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, s. 311–330.
— (2005). The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Mineola (NY): Dover Publications.
Parshall, K. H. (2000). “Perspectives on American Mathematics”. Bulletin of the American Mathematical Society, bd. 37, nr. 4, s. 381–405.
— (2009). “The internationalization of mathematics in a world of nations, 1800–1960”. I: The Oxford Handbook of the History of Mathematics. Udg. af E. Robson og J. Stedall. Oxford: Oxford University Press. Kap. 1.4, s. 85–104.
Parshall, K. H. og A. C. Rice (2002). “The Evolution of an International Mathematical Research Community, 1800–1945: An Overview and an Agenda”. I: Mathematics Unbound: The Evolution of an International Mathematical Research Community, 1800–1945. Udg. af K. H. Parshall og A. C. Rice. History of Mathematics 23. American Mathematical Society og London Mathematical Society. Kap. 1, s. 1–15.
Parshall, K. H. og D. E. Rowe (1989). “American Mathematics Comes of Age, 1875–1900”. I: A Century of Mathematics in America. Udg. af P. Duren m.fl. 3 bd. Providence (RI): American Mathematical Society. Bd. 3, s. 3–28.
— (1994). The Emergence of the American Mathematical Research Community, 1876–1900: J. J. Sylvester, Felix Klein, and E. H. Moore. Bd. 8. History of Mathematics. Providence (RI): American Mathematical Society og London Mathematical Society.
Pierpont, J. (1899). “On the Arithmetization of Mathematics”. Bulletin of the American Mathematical Society, bd. 5, nr. 8, s. 394–406.
— (1928).“Mathematical rigor, past and present”. Bulletin of the American Mathematical Society, bd. 34, s. 23–53.
— (2000). “The history of mathematics in the nineteenth century”. Bulletin (new series) of the American Mathematical Society, bd. 37, nr. 1. Først offentliggjort: Bull. Amer. Math. Soc. 11 (1904), 136–159, s. 9–24.
Sørensen, H. K. (2006). “Matematik og statistik”. I: Lys over Landet, 1850–1920. Udg. af P. C. Kjærgaard. Dansk Naturvidenskabs Historie 3. Aarhus: Aarhus Universitetsforlag. Kap. 7, s. 193–216.
— (2013). “Gennem kaninhullet. Hvordan et menneskeskabt monster medvirkede til at matematikken blev moderne”. I: Matematiske mysterier. Historien, forklaringerne og løsningerne. Udg. af H. A. Salomonsen. Aarhus: Aarhus Universitetsforlag, s. 35–54.
Kildecentreret Matematikhistorie 