Posted in Matematikhistorie, Rejseguide

Matematikhistorie som detektivroman: mesopotamiske tal

Tallet 60 repræsenterer på flere måder det fuldkomne — vi ved jo godt, at der går tres minutter på minut- og sekundviserens omgang — men hvorfor nu egentlig det? Svaret på det spørgsmål involverer nogle lertavler fra en af verdens krigshærgede regioner, en vidtrækkende matematisk ide og en mand der blev forvekslet med en konge.

I området mellem floderne Eufrat og Tigris i det nuværende Irak blomstrede for næsten 4000 år siden en kultur med en høj grad af central organisering og et imponerende kendskab til matematik og astronomi: Vi kalder i dag kulturen for “mesopotamisk” — hvilket betyder “mellem floderne” — eller lidt mindre præcist “babylonsk” efter en af de centrale byer, Babylon. Den mesopotamiske kultur dominerede regionen fra omkring 2000 f.v.t. til Babylons fald i 539 f.v.t., og trods det store span var der faktisk tale om en bemærkelsesværdigt stabil kultur. Selvom det er så længe siden, har vi faktisk god kronologisk viden om den babylonske kultur, hvilket bl.a. skyldes deres skriftkultur og deres astronomiske kalendersystem. Denne imponerede viden bevidnes i dag af den engelske ekspert Eleanor Robsons twitter-beskeder (@Eleanor_Robson), hvori hun har påtaget sig at tweete sig baglæns i den mesopotamiske civilisations historie i takt med at hendes follower-tal vokser.

Det babylonske 60-talssystem

Det mesopotamiske talsystem var bygget på en bemærkelsesværdig nyskabelse i forhold til det tidligere og til dels samtidige egyptiske talsystem. Hvor egypterne havde forskellige symboler for forskellige relevante potenser af 10 (altså 1, 10, 100, 1000, 10.000 og enkelte andre, se figur, havde man i Babylon kun to forskellige talsymboler, som angav henholdsvis 1 og 10 (se figur).

StenoMusen60-figur-1
Egypternes taltegn for potenser af 10.
StenoMusen60-figur-2
Babylonerne havde kun taltegn for 1 og for 10 – til gengæld kunne deres værdi afhænge af deres position i mere sammensatte tal. Således kan symbolet for 32 (med 3 10’erne og 2 1’enere) også betyde 32*60 eller 32*1/60.

I stedet for som egypterne at stakke symbolerne op, var det babylonske talsystem et 60-tals-positionssystem, således at symbolet for 1 også kunne betyde 60, 3600 = 602, etc. afhængig af, hvor det stod i tallet (se figur). Symbolet sammensat af 3 10’ere og 9 1’ere (se figur) kan så både betegne 39, eller 39*60 eller 39*1/60 eller nogen af de uendeligt mange andre muligheder svarende til andre potenser af 60.

StenoMusen60-figur-3
Tallet 140.432 skrevet i egyptisk, babylonsk og moderne notation.

Derved blev regning gjort væsentligt lettere ved hjælp af generelle metoder til at addere og multiplicere; division blev ligesom i Egypten klaret ved at gange med den omvendte brøk. Derved blev babylonske skrivere (gejstlige og verdslige embedsmænd) i stand til at foretage omfattende beregninger, selvom fx multiplikation måtte baseres på en meget stor “lille tabel”: hvor vi i dag kan nøjes med at lære tabellen op til 9 gange 9 som opslag (udenadslære) måtte en babylonsk skriver kunne helt op til 59 gange 59, og dette krævede selvfølgelig en tabel. Det er nogle af disse regne-støttende tabeller samt en masse træningsopgaver, vi i dag har bevaret i form af lertavler med indprentet kileskrift. Disse multiplikations-tabeller kan — sammen med fx egyptiske tabeller for reduktion til stambrøker — ses som nogle af de tidligste epistemiske artefakter, og pointen er, at de er højst afhængige af og samtidig nødvendige for det matematiske (regnetekniske) system, i hvilket de er producerede.

Siden man — især i starten af 1900-tallet — igen fik afkodet sproget og kunne begynde at læse og oversætte skriften på lertavlerne, fandt man ud af, at mange af dem med matematisk indhold stammede fra en skriver-skole, hvor matematik åbenbart var en væsentlig del af undervisningen. Og noget af den matematik, man skulle lære, var umiddelbart relevant for statsadministrationen — simpel aritmetik, tabeller — men dels fandt man også omfattende astronomiske optegnelser, og dels fandt man en række matematiske typeopgaver, som i dag er berømte fordi de svarer til algoritmer til løsning af kvadratiske ligninger.

Inden for de seneste år har man fokuseret megen forskning på at oversætte, forstå og fortolke lertavlerne ved at inddrage mere end den interne matematiske sammenhæng. Således har man bl.a. fokuseret på de udsagnsord og navneord, som indgår i opskriften. Her har den danske ekspert Jens Høyrup påvist, hvordan de dækker over fysiske aktiviteter (at brække en størrelse i to, at afsætte et fremspring, etc.) så antyder, at der har været en geometrisk forståelse bag ved den konkrete præsentation af opskriften. Dette antyder, at babylonierne tænkte geometrisk, men udtrykte sig algebraisk — dette synes matematikhistorisk bemærkelsesværdigt, idet vi fra græsk matematik har overleveret de geometriske beviser, mens grækerne tilsyneladende ikke havde store interesser i algoritmiske og algebraiske aspekter. Ved at påpege en geometrisk forståelse bag algoritmerne får man derfor også et glimt af, hvordan babylonierne måske har kunnet ræsonnere omkring korrektheden af deres opskrifter — sådanne beviser er nemlig ikke overleveret på lertavlerne.

StenoMusen60-figur-4
Lertavlen kendt som Plimpton-322 er en af de mest bemærkelsesværdige og omdiskuterede tabeller fra mesopotamisk kultur.

Matematikhistorie er som en detektivroman

Det matematiske indhold udpeger imidlertid ikke entydigt fortolkningen af de gamle lertavler, og når dette kombineres med de betydelige forskelle i sprog og notation, der består mellem de mesopotamiske kilder og vores nuværende matematiske apparat, bliver det en delikat sag at læse, beskrive og fortolke mesopotamisk matematik. Læseren — såvel forskeren som gymnasieeleven — bliver til en slags detektiv, som både skal forsøge at finde meningen med kilden og sandsynliggøre, hvordan dens indhold er blevet til. Alligevel kan emnet — sammen med fx egyptisk matematik — give et fascinerende indblik i en længst svunden kulturs høje niveau af matematisk formåen. Men man skal holde tungen lige i munden, allerede når man skal give mening til den mesopotamiske regningsteknik.

Vi har jo i dag et 10-tals-positionssystem (de såkaldt hindu-arabiske tal, som kom til Vesteuropa fra Indien via den islamiske kultur omkring år 1000) — og det har nogle oplagte paralleller med det mesopotamiske system — cifrenes betydning afhænger af, hvor i tallet, de står. Men der er også to oplagte forskelle: 1) Der fandtes i den mesopotamiske kultur ikke noget symbol svarende til vores 0, så tomme positioner blev angivet med et lille mellemrum mellem kiletegnene — så rent typografisk var der absolut ingen forskel på isolerede symboler for 1 og 60. I sådanne tilfælde må vi som matematikhistoriske detektiver overveje, hvor godt forskellige alternativer passer på de forhåndenværende oplysninger — og her giver de efterfølgende udregninger tit et ret entydigt svar. Og 2) vi skriver ikke i dag cifrene i tallene på samme måde som babylonierne — i stedet er det effektivt at oversætte babylonske cifre til deres tilsvarende værdi i 10-tals-systemet. Således vil vi måske kunne skrive 39; 0; 32 for 140:432. For brøker i 60-talssystemet kan vi så bestemme os for — helt i overensstemmelse med den mesopotamiske repræsentation — at skrive 0; 20 for 1/3 og 0; 6; 40 for 1/9 og så videre. Når vi så skal gøre rede for, hvordan man udførte operationer på disse tal er det imidlertid vigtigt ikke at blive forledt af vores oversættelse, men at værdsætte, hvordan man opererede i 60-tals-systemet.

Vi står altså med mesopotamisk matematik — som med alle andre historiske kilder — med en fundamental fortolknings-udfordring. Men hvor man tidligere er blevet forledt af det matematiske indholds tilsyneladende genkendelighed, får man i dag meget mere ud af kilderne. Når man — meget gerne på et museum — betragter genstandene i deres materialitet, får man et nyt perspektiv på deres frembringelse og kontekst. Og når forskere i dag nærstuderer det sprog, der bærer det matematiske indhold, finder de et næsten taktilt, bagvedliggende geometrisk tæppe, som afslører den proces-tilgang til matematik, som tavlerne har indgået i. Og når man betragter en tavle — selv et replika — kan man måske begynde at værdsætte, at enhver oversættelse til moderne notation kan hjælpe detektiven til at komme i gang, men ikke kan udgøre en fuld forklaring af den rige historiske kontekst, hvor selv genkendelige entiteter som tal og positions-systemer alligevel så anderledes ud. For at komme så langt må man forsøge at tænke som en babylonsk skriver — man må “go native”.

En af de helt centrale anvendelser af matematik i den mesopotamiske kultur drejede sig om astronomiske observationer og forudsigelser. Man ved, at de førte nøje tabeller over deres observationer, og benyttede matematiske fremskrivninger til at forudsige påfaldende fænomener som formørkelser m.v. Disse tabeller var tilsyneladende så præcise og brugbare, at de blev inkorporeret af græske astronomer efter at det kulturelle centrum var flyttet til Alexandria i det nuværende Egypten i den hellenistiske periode. Det gjorde sig ikke mindst gældende hos den berømte astronom Ptolemaios (ca. 150 e.v.t.), som samlede astronomisk teori og empiri i sit værk kendt som Almagesten. Derigennem kom det babylonske 60-tals-system med dets grader, minutter og sekunder til at blive en varig repræsentation af astronomiske data, og herfra også af tidsangivelser, således at vi stadig bruger det på vores ure. Navnet Ptolemaios var udbredt i makedonske overklasse på Alexander den Stores tid, og alle de græske konger (faraoner) af Egypten fra 323 f.v.t. til 30 f.v.t. bar dette navn. Sikkert af den grund er astronomen Ptolemaios fejlagtigt blevet antaget at være af royal afstamning, og han afbilledes i middelalderen ofte med en kongekrone. Ptolemaios udarbejdede også kordetabeller, som relaterer korden i en cirkel til den bue, den spænder over. Sådanne tabeller har stor astronomisk betydning og overførte de astronomiske 360 grader, minutter og sekunder til måden at måle cirkelbuer og dermed vinkler på.

StenoMusen60-figur-5
Illustration af korden k, som spænder over buen b.
StenoMusen60-figur-6
Astronomen Ptolemaios afbildet med kongekrone i værk fra 1500-tallet.

Og dermed er vi så måske faktisk nået hele vejen rundt i cirklen: 60 er ikke bare et tilfældigt rundt tal — det er et tal med mange divisorer, som har en rig matematisk og astronomisk historie bag sig. Og når man — for eksempel på et museum som Steno Museet — går på opdagelse i denne historie kan man få et indblik i, hvordan matematik har været anderledes — omend genkendeligt — i fortiden. Og for den, der har tålmodighed, nysgerrighed og mod er matematikkens detektivhistorier ikke at foragte for Arthur Conan Doyles, George Simenons eller Dan Browns fiktion.

Forslag til yderligere læsning

  • Gericke, H. (1996). Talbegrebets historie. Oversat af K. Andersen og K. Larsen. Århus: Matematiklærerforeningen og Institut for de Eksakte Videnskabers Historie, Aarhus Universitet.
  • Høyrup, J. (1998). Algebra på lertavler. Matematiklærerforeningen.
  • Robson, E. (2008). Mathematics in ancient Iraq. A social history. Princeton: Princeton University Press.
  • Schimmel, A. (1993). The Mystery of Numbers. New York og Oxford: Oxford University Press.

Forfatter

Lektor i matematikkens historie ved Center for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet.

One thought on “Matematikhistorie som detektivroman: mesopotamiske tal

Skriv et svar

Udfyld dine oplysninger nedenfor eller klik på et ikon for at logge ind:

WordPress.com Logo

Du kommenterer med din WordPress.com konto. Log Out / Skift )

Twitter picture

Du kommenterer med din Twitter konto. Log Out / Skift )

Facebook photo

Du kommenterer med din Facebook konto. Log Out / Skift )

Google+ photo

Du kommenterer med din Google+ konto. Log Out / Skift )

Connecting to %s