Posted in Matematikhistorie

Nullets historie (1/3)

Talbegreber og talsystemer

Forskellige kulturer har haft forskellige talbegreber, og det er nyttigt at kunne skelne mellem tre relaterede aspekter, nemlig talsystemer (herunder aritmetiske algoritmer), talord og taltegn (eller talsymboler). Disse kan alle ses som repræsentationer af bagvedliggende talbegreber, som sjældent ekspliciteres helt, men hvis forskelle kan spores gennem de forskellige systemer, ord og tegn, som overleveres i kilderne. Og nogle gange er der forbindelser – fx mellem talordet ”nul” (eller bedre på engelsk: ”naught”) og taltegnet 0, som næsten mimer hinanden, hvilket også Holberg (og Shakespeare fx i King Lear 1603-06) forstod at udnytte. For eksempel karakteriserer narren King Lear som “An O without a figure”, hvor han dermed både spiller på tallets betydning og symbolets udseende.

Nogle talsystemer, fx det egyptiske eller romertallene har ikke behov for og ikke plads til et særskilt tal for nul: Regning i de to systemer fungerer ved “ophobning”, fx på et eksternt redskab, og ikke ved egentlige procedurer udført på talrepræsentationerne. Derfor gav det ikke mening for dem at betragte nul som et antal (som et tal), ligesålidt som de græske talteoretiske resultater hos Euklid giver enheden (1-tallet) status som et tal. I stedet kan vi måske tænke om deres forhold til disse tal som at “0 mænd” svarer til “ingen mænd” og at “1 mand” svarer til “manden”.

Hvis man således betragter forskellige talsystemer, så er det i sammenhæng med nullets historie især vigtigt at indkredse positionstalsystemerne, idet nullet her spiller en helt særlig rolle. Bare for at tage et (relevant) eksempel: I den præ-colombianske maya-kultur havde man et veludviklet talsystem til brug for især kalenderberegninger. Det var baseret på et 20-tals-positionssystem med tegn for 1 og 5, og havde faktisk også symboler for 0 (faktisk flere af slagsen). Et årstal svarende til 36 f.v.t. er skrevet med brug af sådan et nul – længe før et selvstændigt symbol for nul dukkede op i fx Vesteuropa.

Babylon og Grækenland: Astronomiske nuller

Men for nullets historie i Vesteuropa er det vigtigste sted at starte i den mesopotamiske kultur i det nuværende Irak (mellem Eufrat og Tigris) i højkulturen fra omkring 1500 f.v.t. [se også tidligere post om mesopotamiske tal]. Der havde man et talbegreb, som blev repræsenteret i kileskrift med to forskellige kiler for 1 og 10. Talsystemet var et 60-tals-positionssystem, men der var til at begynde med ikke noget tegn for en tom plads – der angives blot et lidt større mellemrum mellem ”cifrene” eller cifrene skrives i forskellig fysisk størrelse. Senere (i Seleukide-perioden fra 2. årh. f.v.t.) optræder et skilletegn som markering af en tom plads – skilletegnet er to sammensatte mindre hak.

Og regning med nul forekommer heller ikke i de ellers meget omfattende eksempler på matematiske opgaver, som den babylonske skriverkaste blev trænet i. Hvis man fx i rentes-regnings-opgaver skulle ende med at kapitalen blev nul (i vores sprogbrug), ville man skrive: ”kornet er fortæret”.

Fra den mesopotamiske kultur (og i mindre grad fra den egyptiske før den) har vi masser af eksempler på praktisk regning og på aritmetisk problemløsning. Fra den græske højkultur har vi derimod mest eksempler på en anden type bevisende matematik, som også gjorde tallene til genstand for filosofisk undersøgelse. Det skete blandt andet i en af bøgerne i Euklids berømte Elementer (omkring 295 f.v.t.), nemlig den talteoretiske bog VII. Og her er talbegrebet faktisk eksplicit defineret: Tal er ”størrelser sammensat af enheder”. Denne definition udelukker 1 som et tal – det er enheden, hvormed tallene måles, og 0 er da slet ikke på tale som et tal. Vi har i stedet fået ekspliciteret en ide om tal som kardinaltal – angivelser af størrelser af mængder (samlinger).

Men i den mere praktiske ende af matematikken – især i astronomien – overtog grækerne 60-tals-positionssystemet fra babylonerne. Og her dukkede en ny opfindelse op i Ptolemaios’ tabeller i den berømte Almagest (2. årh. e.v.t.): Ptolemaios bruger det græske tegn omicron som indikation af en tom plads – måske fordi omicron er det første bogstav i det græske ord for ”intet”. Og dermed har nullet for første gang fået sin moderne form.

Forfatter

Lektor i matematikkens historie ved Center for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet.

One thought on “Nullets historie (1/3)

Skriv et svar

Udfyld dine oplysninger nedenfor eller klik på et ikon for at logge ind:

WordPress.com Logo

Du kommenterer med din WordPress.com konto. Log Out / Skift )

Twitter picture

Du kommenterer med din Twitter konto. Log Out / Skift )

Facebook photo

Du kommenterer med din Facebook konto. Log Out / Skift )

Google+ photo

Du kommenterer med din Google+ konto. Log Out / Skift )

Connecting to %s