Posted in Matematikhistorie

Nullets historie (2/3)

Indien: Nuller er svære at regne med

I den indiske kultur – som ligesom den mesopotamiske og den hellenistiske var astronomisk interesseret – finder man i indskrifter fra 600-tallet et symbol for nul som en prik eller en cirkel. Og i nogle af deres matematiske skrifter, fx Brahmagupta (også fra 600-tallet), findes angivelser af, hvordan man opererer med nul, fx:

Summen af nul og noget negativt er negativt, <summen af nul> og noget positivt er positiv, <summen af> to nuller er nul. Noget negativt trukket fra nul bliver positivt […] Produktet af nul og noget negativt eller positivt er nul; <produktet> af to nuller er nul […] Nul divideret med nul er nul […]

Den sidste del af citatet – at 0/0 er 0 er en af de første angivelser af en løsning på en udfordring, som vi stadig har: Nul har nemlig ikke nogen let aritmetik, når det kommer til division. Og Brahmagupta og andre indiske matematikere havde endnu sværere ved at formulere, hvad der sker, når man dividerer med nul. Fx siger Bhaskara i 1100-tallet, at ”en størrelse med divisoren 0 forbliver uændret, hvis man til den føjer eller fra den trækker vilkårligt meget”. Men han siger også, at:

Produktet <af en given størrelse> og nul er nul, men det må bibeholdes som et mangefold af nul, når der følger en anden operation efter. Hvis nul <først> er en multiplikator og derefter en divisor, så forbliver den givne størrelse uændret.

Denne form for en udvidet regning med 0 skulle blive en endnu større udfordring for differentialregningens opfindere (inkl. precalculus) i 1600-tallet, da deres metoder baserer sig på hvad der af kritikere blev beskrevet som en ”nullernes algebra”.

Det er morsomt at vide, at da den berømte norske matematiker Niels Henrik Abel langt senere – i begyndelsen af 1800-tallet – blev undervist af sin herostratisk berømte far i regning, så foregik det ud fra faderens egen hjemmelavede regnebog, hvor den første indgang i additionstabellen (fejlagtigt) er 0+1=0.

De hindu-arabiske tal og deres ankomst i Vesteuropa

Vores moderne talsystem – med dets 10 (eller 9) taltegn og baseret på et 10-tals-positionssystem – kaldes for det ”hindu-arabiske talsystem” fordi det oprindeligt kommer fra Indus-regionen men er formidlet til Vesteuropa gennem den islamiske kulturkreds.

En helt central skikkelse i denne formidling er den persiske matematiker al-Khwarizmi (780-850), som virkede i Bagdad. Al-Khwarizmi er særligt berømt for to værker – dels hans værk om løsning af kvadratiske ligninger, hvorfra begrebet algebra stammer (830), og dels hans bog om ”regning med hindu-tal” fra omkring 825. Da det sidste værk blev oversat til latin blev det kendt som Algoritmi de numero Indorum, hvor transliterationen af al-Khwarizmis navn så siden har givet anledning til begrebet ”algoritme”.

Dette værk præsenterede det indiske talsystem og regning i positionssystemet, og gjorde dette system kendt i den islamiske kulturkreds i det første århundrede efter al-Khwarizmi. Den lærde Gerbert af Aurillac (946-1003, pave 999) – den senere pave Sylvester II – blev blandt andre bekendt med det under sine rejser omkring Middelhavet som ung. Da han senere kom i betragtning som pave var det faktisk ikke en fordel – nærmere en kættersk skygge – at være i stand til at regne med de fremmede ”arabertal”.

De nye arabiske tal dukker første gang op i Europa i et manuskript fra omkring 976 – og i første omgang uden et symbol for 0 eller en egentlig beskrivelse af deres operationer. I stedet kommer Al-Khwarizmi og de hindu-arabiske tal for alvor til Vesteuropa igennem oversættelser foretaget af bl.a. Robert fra Chester i 1120 og Adelard fra Bath (1080-1152), som igennem kulturudvekslingen i Spanien og igennem korstogene kom i forbindelse med islamisk viden. Og igennem rejser i Middelhavsområdet kom også Leonardo fra Pisa (kendt som Fibonacci, 1170-1250) i kontakt med det nye talsystem, som han beskrev i sin Liber abaci fra 1202. Deri viste han også det nye talsystems anvendelighed i bogholderi og til løsning af matematiske problemer. Og selvom tegnene har udviklet sig noget i forskellige håndskrifter, standardiseredes de i perioden op til bogtrykkekunstens opfindelse. Leonardo skriver forbilledligt:

De ni indiske tegn er 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Med disse ni tegn og med tegnet 0, som araberne kalder ’zephirum’ (ciffer) kan man skrive et hvilket som helst tal, som vi skal demonstrere  i det følgende.

Og netop denne mulighed for at skrive alle tal – og regne med dem – skulle blive kernen bag hindutallenes sejrsgang. I Reisch’ værk bliver det fremstillet som en konkurrence mellem algoristen (hindutallene, som man kan regne med på papir) og abacisten (romertallene, som kræver et eksternt apparat for at blive behandlet) – og aritmetikkens lys skinner på algoristen – og dermed nullet – som sejrherren.

Træsnit fra Gregor Reisch, som viser konkurrencen mellem algoristen og abacisten.
Træsnit fra Gregor Reisch, som viser konkurrencen mellem algoristen og abacisten.

Forfatter

Lektor i matematikkens historie ved Center for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet.

3 thoughts on “Nullets historie (2/3)

  1. Hej, jeg skal snart skrive SRP og jeg har brug for nogle kilder. Jeg ville høre om du har nogle kilder i forhold til hvordan den arabiske matematik kom til Europa. Du skriver blandt andet af gerbert fik kendskab, har du en kilde?

    1. Hej Uzra. Det første skridt er sikkert at indkredse spørgsmålet lidt. En oplagt kilde at betragte vil være Leonardo af Pisas (Fibonacci) Liber abaci, som er den centrale introduktion af de hinduarabiske tal til Vesteuropa. Jeg har også skrevet lidt om det i en artikel i værket Middelalderens Verden (Aarhus Universitetsforlag). Jeg håber, at det kan hjælpe dig videre og ønsker dig god fornøjelse med din SRP. Mange hilsener, Henrik.

Skriv et svar

Udfyld dine oplysninger nedenfor eller klik på et ikon for at logge ind:

WordPress.com Logo

Du kommenterer med din WordPress.com konto. Log Out / Skift )

Twitter picture

Du kommenterer med din Twitter konto. Log Out / Skift )

Facebook photo

Du kommenterer med din Facebook konto. Log Out / Skift )

Google+ photo

Du kommenterer med din Google+ konto. Log Out / Skift )

Connecting to %s