Posted in Matematikken i Antikken, Mathematics and Culture

Romersk regning: Hvordan man kan klare sig uden et nul

Vi kender romertallene, M, L, D osv. Men der er ingen tegn for 0 (nul). Kendte romerne ikke denne enhed? Og hvordan regnede de egentlig? Hvad er f.eks. MCM x DL? Det kunne jeg godt tænke mig at vide. (Spørgsmål til Newton i Jyllands-Posten, 30. marts 2014)

Romernes talsystem var baseret på, at forskellige antal havde forskellige symboler, fx I for 1, V for 5, X for 10, C for 100 og M for 1000 (samt nogle flere). Med disse symboler kunne man nu også udtrykke andre tal ved ophobning således at III betyder 3 (3 × 1), XII betyder 12 (10 + 2 × 1), CCXVII betyder 217 (2 × 100 + 10 + 5 + 2 × 1).

Romertallene er således udmærkede til at repræsentere (små) hele tal—men de er ikke et positionstalsystem sådan som vi kender det fra vores almindelige såkaldte hindu-arabiske tal. I vores talsystem bruges et lille antal cifre, og værdien af det enkelte ciffer er afhængig af, hvor i tallet, det optræder: Således betyder 1-tallet i 12 at der indgår een tier, mens 1-tallet i 102 betyder, at der indgår 1 hundreder. Vores tal- system har flere “fordele” i forhold til romernes — for eksempel kan vi skrive meget store tal (faktisk vilkårligt store tal) uden at skulle opfinde nye symboler — og den vigtigste egenskab er, at vi kan regne med tallene: Vi har algoritmer for at manipulere cifre i 10-talssystemet, som gør det muligt at lægge sammen, trække fra, gange og dividere og en helt masse andre ting. Sådanne regler havde romerne ikke for deres tal. I stedet måtte de ty til et eksternt apparat, en abacus (en slags kugleramme) eller et “regnebord” (senere kendt som en “banca”, der når fx en handlende eller pengeudlåner gik fallit blev slået i stykker, heraf begrebet “bankerot”).

På abacussen (eller regnebordet) kan man lægge sine tal op i rækker og kolonner, således at kugler på en bestemt søjle tæller for en bestemt værdi, 1’ere, 10’ere, 100’ere osv. På den romerske abacus havde man en særlig kugle som talte for 5 af de andre i samme søjle, hvilket svarer til at de havde symboler V for 5, L for 50, D for 500 etc. Man udpakker således de sammentrukne romertal og regneapparatet havde således indbygget et 10-tals positionssystem. Addition er så forholdsvist simpelt, idet man blot samler kolonnerne og kombinerer 2 stk. 5’ere til en 10’er osv. Multiplikation er lidt sværere, men det kan dog sagtens gennemføres ud fra en opskrift, som vi kan genkende som gentagen addition, men som blev udført direkte på regneapparatet. Når man så havde resultatet, var det en smal sag at skrive det ned med romertal igen. Selvom det ser kompliceret ud for os, skal man vide, at romerne var ganske gode til at regne på denne måde. Og mange andre kulturer har siden regnet ved hjælp af abacusser — faktisk er findes der stadigvæk i Asien mennesker, der kan regne fantastisk hurtigt ved hjælp af en modificeret kugleramme (kinesisk: suanpan, japansk: soroban).

RomerskAbacus1
Romersk abacus, British Museum
RomerskAbacus2
Romersk abacus, replika

Billedet viser en romersk abacus fra British Museum samt et replika, og man kan se, at søjlerne er benævnt med deres værdier i romertal, sådan som romerne selv skrev dem. Søjlen benævnt O har imidlertid ikke noget med 0 (nul) at gøre — der er derimod tale om, at romerne også kunne regne med (visse) brøker ved hjælp af deres abacus, svarende til enten 8.-dele eller 12.-dele (afhængig af modellen og det område, den blev brugt i).

Fra dette skulle det også være klart, at romerne ikke havde brug for et symbol for nul, og det var jo slet ikke et spørgsmål for dem. Formålet med et nul i regneteknisk forstand er at have et symbol til at repræsentere en tom plads i positionssystemet; men fordi romernes positionssystem var indbygget i deres regneapparat, blev en tom plads simpelthen bare repræsenteret ved fravær af kugler eller sten i den position. Og til at nedskrive resultatet havde de jo heller ikke brug for det.

Nullet er derfor en tilføjelse, som essentielt er båret af positionssystemet, som først kom til Vesteuropa omkring år 1000. I andre positionssystemer fx i Mellemamerika (et 20-tals positionssystem hos mayaerne) eller i Mellemøsten (et 60-tals positionssy- stem hos babylonerne) var der derimod brug for et symbol til at repræsentere en tom plads — og det er den vej, at vores nul er blevet til (se http://www.matematikhistorie. dk/stor-stahej-om-ingenting-nullets-historie/).

Man kan også læse mere om regning i de antikke kulturer i nogle af følgende værker:

  • Cuomo, S. (2006). Ancient Mathematics. Sciences of Antiquity. London og New York: Routledge.
  • Detlefsen, M. m.fl. (1976). “Computation with Roman numerals”. Archive for History of Exact Sciences, bd. 15, nr. 2, s. 141–148.
  • Taisbak, C. M. (1965). “Roman numerals and the abacus”. Classica et mediaevalia: Revue danoise de philologie et d’histoire, bd. 26, s. 147–160.
  • Turner, J. H. (1951). “Roman Elementary Mathematics: The Operations”. The Classical Journal, bd. 47, nr. 2, s. 63–74; 106–108.

Hvis man er er interesseret i et gennemregnet eksempel kan man således fx konsultere Taisbaks artikel eller sende mig en email.

Forfatter

Lektor i matematikkens historie ved Center for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet.

Skriv et svar

Udfyld dine oplysninger nedenfor eller klik på et ikon for at logge ind:

WordPress.com Logo

Du kommenterer med din WordPress.com konto. Log Out / Skift )

Twitter picture

Du kommenterer med din Twitter konto. Log Out / Skift )

Facebook photo

Du kommenterer med din Facebook konto. Log Out / Skift )

Google+ photo

Du kommenterer med din Google+ konto. Log Out / Skift )

Connecting to %s