Livsforsikring: et SRP-forslag til matematik og fx historie

I takt med, at man — først især i England i 1600-tallet — begyndte at udtage livsforsikringer, blev demografiske forhold som dødelighed underkastet matematisk behandling. I sin simpleste form er en livsforsikring en forsikring imod en persons død inden et fastsat leveår, og formålet er at sikre efterkommere mod tidlig død. Senere er der kommet mange andre beslægtede forsikringsformer til, herunder alderspensioner etc.

For at bestemme præmien (det beløb, der skal indbetales af forsikringstageren enten løbende eller som et engangsindskud) skal forsikringsgiveren bestemme de odds der er for, at forsikringssummen kommer til udbetaling. Til at vurdere disse odds fandt bl.a. den engelske astronom og matematiker Edmund Halley (1656–1742) som en af de første på at indsamle og benytte statistiske data for en befolknings sammensætning. I 1693 udgav Halley sine data for den tyske by Breslau, idag Wrocław i Polen, i en artikel, der både introducerer demografiens status på det tidspunkt, oprindelsen af de indsamlede data, selve data og en række matematiske anvendelser af disse (Halley, 1693).

Edmund Halley, malet af Thomas Murray cirka 1687

I Halleys artikel findes dels en tabel, der for enhver alder fra 1 år til 84 år angiver antallet af personer i Breslau med den alder. Ud fra dette kan man — hvis man antager, at fødselstallene for Breslau er konstante i perioden — beregne, hvor stor sandsynligheden for at dø i det n’te leveår er. Og ud fra dette kan man beregne sandsynligheden for at overleve til fx 40 år givet, at man lige nu er fx 20 år. Det er denne sidste sandsynlighed, der er interessant for livsforsikringerne, idet den angiver (komplementet til) sandsynligheden for, at forsikringen falder til udbetaling hvis man som 20-årig tegner en forsikring imod at dø inden det fyldte 40. år.

Halleys dødelighedstabel for Breslau (Halley 1693, 600).

I sin artikel diskuterer Halley forskellige anvendelser af sin dødelighedstabel, herunder den overfor beskrevne brug til livsforsikringer. For eksempel skriver han (Halley, 1693, s. 601–602):

So likewise for the odds, that any Person does not die before he attain any proposed Age: Take the number of the remaining Persons of the Age proposed, and divide it by the difference between it and the number of those of the Age of the Party proposed; and that shews the odds there is between the Chances of the Party’s living or dying. As for Instance; What is the odds that a Man of 40 lives 7 Years: Take the number of Persons of 47 years, which in the Table is 377, and substract [sic!] it from the number of Persons of 40 years, which is 445, and the difference is 68: Which shews that the Persons dying in that 7 years are 68, and that it is 377 to 68 or 5½ to 1, that a Man of 40 does live 7 Years. And the like for any other number of Years.

Halleys beregning er et eksempel på beregningen af en såkaldt betinget sandsyn- lighed, dvs. sandsynligheden for at hændelsen A indtræffer, givet at vi allerede ved, at hændelsen B er indtruffet. I eksemplet er hændelsen A således, at personen overlever til 47 år, og hændelsen B er, at personen overlever til 40 år. I dag skriver vi den betingede sandsynlighed for A givet B som P(A|B), og den defineres som P(A|B)= P(A∩B)/P(B) (se fx M. Sørensen, 2012, kap. 1). I vores tilfælde er A⊂B, så P(A∩B) = P(A), hvilket giver en moderne fremstilling af Halleys formel.

Livsforsikringer kunne udgøre et glimrende emne for et SRP mellem matematik og fx historie, og de mulige tilgangsvinkler er mange. Man kunne fx tage udgangspunkt en den autentiske kilde (Halley, 1693) og behandle den matematikhistorisk for både dens matematiske indhold og den tabel med autentiske data fra Breslau, som den indeholder. Et sådant matematikhistorisk projekt vil både involvere en del matematik i at forstå og behandle Halleys tabel og i at nå frem til hans beregning af betingede sandsynligheder. Den historiske faglighed kunne komme på spil i mange former og kunne omfatte en kontekstualisering af Halleys artikel i forhold til den engelske kontekst, i forhold til datas oprindelse, og i forhold til den gryende forsikringsbranche. For sådan et projekt er den oprindelige kilde jo central, og behandlingerne kunne evt. støtte sig på fx Bellhouse (2011) og Bacaër (2011). Halleys oprindelige tabel kan også findes ved søgning på internettet, eller man kan rekvirere artiklen fra 1693.

Man kunne også vælge at fokusere på de demografiske udlægninger af Halleys og lignende data. Hvordan ser befolkningssammensætningen i Breslau for eksempel ud sammenlignet med fx Danmarks befolkning i dag? Der findes masser af data-materialer til denne sammenligning, og man kunne endda overveje spørgsmål af typen: Hvor meget dyrere er det mon (bør det være) at forsikre en ung afroamerikansk dreng på 12 år mod at dø inden det fyldte 40. leveår end en ung dreng på 12 år i Danmark mod den sam- me hændelse? Dertil kræves selvfølgelig demografiske data, og de kan nemt findes ved søgning på internettet.

Endelig kan man anlægge et samfunds- og institutionshistorisk blik ved at se på, hvordan aktuarvidenskab (matematikken om forsikringer) er blevet institutionaliseret i spændet mellem matematisk udvikling, professionalisering og behovet for at sikre det økonomiske fundament i forsikringsselskaberne. Det er en udvikling, der bl.a. i Danmark i løbet af 1800-tallet førte til, at aktuarer blev en beskyttet titel, og at et matematisk grundlag er påkrævet af forsikringsvirksomheder (se fx H. K. Sørensen, 2006).

Referencer

• Bacaër, Nicolas (2011). “Halley’s life table (1693)”. I: A Short History of Mathematical Population Dynamics. London: Springer. Kap. 2, s. 5–10.
• Bellhouse, David R. (2011). “A new look at Halley’s life table”. Journal of the Royal Statistical Society. A, bd. 174, nr. 3: Part 3, s. 823–832.
• Halley, E. (1693). “An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, Drawn from Curious Tables of the Births and Funerals at the City of Breslaw; With an Attempt to Ascertain the Price of Annuities upon Lives”. Philosophical Transactions, bd. 17, s. 596–610.
• Sørensen, Henrik Kragh (2006). “Matematik og statistik”. I: Lys over Landet, 1850– 1920. Udg. af Peter C. Kjærgaard. Dansk Naturvidenskabs Historie 3. Aarhus: Aarhus Universitetsforlag. Kap. 7, s. 193–216. isbn: 87-7934-170-5.
• Sørensen, Michael (2012). En introduktion til sandsynlighedsregning. 13. udg. København: Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik, Københavns Universitet.

Advertisement