Video: Logistisk vækst

I januar 2018 var der premiere på den video om Verhulst og logistisk vækst, som Bjørn Grøn m.fl. har produceret i serien “10 danske matematikere – 10 matematiske fortællinger”. Filmen varer en halv time og giver en introduktion til konteksten og indholdet i Verhulst’s oprindelige modellering af befolkningsvækst, som førte ham til logistisk vækst. Der indgår også en matematisk udledning af løsningsformlen for den logistiske differentialligning ved separation af de variable og brug af partialbrøker. Endvidere er der også en diskussion af modellingsprocessen og de indgående æstetiske og pragmatiske valg, samt af modellens store sensitivitet til valg af datapunkter i Verhulst’s oprindelige forståelse af modellens status.

Advertisement

Kildecentreret matematikhistorie i gymnasiet: Multi-purpose materialer og didaktisering

I arbejdet med at udvikle materialer til kildecentreret matematikhistorie i gymnasiet
anlægger vi tre fundamentale principper, nemlig

1. at materialet er centreret om en kilde, som er udvalgt i en dialektisk proces defineret af kildens muligheder og undervisningens formål,
2. at det materiale, som vi udvikler, er rettet mod læreren og muliggør adskillige forskellige anvendelser i undervisningen,
3. at den egentlige didaktisering til den konkrete undervisningssituation er overladt til læreren på grundlag af information og inspiration fra materialet (se også Danielsen, Gertz og Sørensen, 2016).

I arbejdet med at udvælge materialer at arbejde med, anvender vi derfor typisk en proces som er stiliseret i figur 1.

Denne proces tager, ligesom hele tilgangen og det endelige produkt, kilden som sit udgangspunkt. Den består af 5 delprocesser svarende til de fem centrale elementer, som skal udgøre det færdige materiale:

1. Kilden identificeret og afgrænset og (1a) oversat til dansk.
2. Kontekstualisering (identifikation og tekstproduktion).
3. Forklaring og udfoldning (identifikation og tekstproduktion).
4. Undervisningsdesigns identificeret og (4a–4c) beskrevet.
5. Introduktion til elever (og lærer) med situering.

Processerne 1 og 4 i figur 1 er nært forbundne, idet langt fra alle kilder tillader relevante undervisningsformål, ligesom det kan vise sig svært at finde kilder, der understøtter ønskede formål defineret af fx et emne fra kernestoffet. Derfor udgør 1 og 4 en dialektisk proces, hvor kilde og formål afstemmes efter hinanden (se figur 2), og nogle kilder og formål må simpelthen opgives (i hvert fald for nuværende), hvis processen ikke konvergerer. Derfor har vi også et idekatalog med skuffeprojekter, hvor vi løbende samler ideer og skitser, men før kilde og formål går op i en højere enhed, giver projektet ikke mening og må tilbage i skuffen.

Kildevalget udgør således den ene afgrænsning af materialeudviklingen: Hvilke materialer kan overhovedet udvikles? Den anden afgrænsning handler om, hvordan produktet skal være, og her siger multi-purpose-tilgangen, at materialet skal lægge op til og understøtte lærerens konkrete didaktisering til et bestemt undervisningsformål (se figur 3).

I forlængelse af den foregående observation er det her vigtigt at huske, at ikke alle formål er lige relevante for en given kilde. Men læreren skal alligevel tilpasse kilden og materialet til sin undervisningssituation og selv mestre pointerne på et niveau, der tillader at undervise i dem.

Til materialerne er knyttet en hjemmeside (her på http://www.matematikhistorie.dk/), hvor vi løbende deler supplerende materiale, herunder eksempler på konkrete didaktiseringer.

Materialet om logistisk vækst Vækst i nationens tjeneste (Danielsen og Sørensen, 2014) har været anvendt i forskellige sammenhænge, og vores fokusgruppe-undersøgelser har vist, at lærere, der bruger det, har meget positive erfaringer.

For at illustrere pointen om didaktiseringer til forskellige konkrete formål har vi fået lov til på hjemmesiden http://matematikhistorie.dk/logistisk-vaekst at lægge to didaktiseringer op:

1. Andreas Hermansen (Egaa Gymnasium) har benyttet materialet i en 3.g matematik-klasse med det formål at gennemgå Pierre-François Verhulsts (1804–1849) beskrivelse af Belgiens befolkningsvækst. Forløbet strakte sig over 3 lektioner, og Andreas’ didaktisering indeholder detaljerede arbejdssedler til at understøtte elevernes arbejde med kilden. På den måde er Andreas’ didaktisering en direkte, men bearbejdet, forlængelse af hovedhistorien i det udviklede materiale.

2. Aase Sejr Gothelf (Aarhus Katedralskole) har derimod benyttet materialet i et AT-forløb mellem historie og matematik med en 3.g matematik-klasse. Det overordnede emne for AT-forløbet var “Globalisering”, og materialet om Verhulst blev benyttet til i matematik-delen at behandle differentialligninger, eksponentiel og logistisk vækst, samt matematisk modellering. AT-forløbet trak også spor tilbage til et tidligere forløb om Det gode argument og integrerede med den lærebog, som klassen brugte. Aases arbejdssedler leder eleverne igennem dels en læsning af den oprindelige kilde (som Andreas’ didaktisering) men lidt mere fokuseret på udvalgte dele, arbejde med Verhulsts modelleringsproces, og endelig et supplerende materiale om løsning af differentialligninger ved separation af de variable, som gør det muligt at følge en af Verhulsts ellers uigennemskuelige udledninger.

Hvis du har lyst til at arbejde med materialet om Verhulst og logistisk vækst, så kan disse didaktiseringer måske inspirere dig til, hvordan du kan bringe materialet i anvendelse til ganske forskellige formål. Og hvis du har brugt materialet og har lyst til at dele dine didaktiseringer med og eller med kolleger, så hører vi meget gerne fra dig.

Referencer

Danielsen, Kristian, Emilie Gertz og Henrik Kragh Sørensen (2016). “Facilitating Authentic History of Mathematics in Danish Upper-Secondary Mathematics Education”. Paper accepted for TSG25 at ICME 2016 in Hamburg.

Danielsen, Kristian og Henrik Kragh Sørensen (2014). Vækst i nationens tjeneste. Hvordan Verhulst fik beskrevet logistisk vækst. København: Matematiklærerforeningen.

Logistisk vækst: fortællende og autentisk matematikhistorie i gymnasiet

Igennem et par år har jeg sammen med Kristian Danielsen arbejdet på et materiale til brug for undervisning i logistisk vækst på STX baseret på en “fortællende og autentisk” tilgang til matematikhistorie. Det har udmøntet sig i en lille bog (Matematisk Bogsalg 2014) med materiale til at undervise i logistisk vækst baseret på Verhulsts oprindelige artikel fra 1838. På denne hjemmeside vil vi lægge yderligere links og materiale ud til brug for underviserne.

Opmålingen af Verden: Analyse af et hands-on historisk forløb i gymnasiet

Det danske geomat-projekt (www.geomat.dk) er et af de mest succesfulde og anvendte forløb til at integrere matematik i praktiske tværfaglige forløb i gymnasiet. Projektet drives af de garvede matematiklærere Ivan Tafteberg Jakobsen og Jesper Matthiasen og er centreret om at placere landmåling og navigation i matematisk, historisk og teknologisk kontekst. Projektet består af dels en fysisk samling med nogle meget flotte instrumenter (originale historiske instrumenter eller præcise replika) og dels et site med udvalgte og oversatte kildetekster og en samling links (Jakobsen og Matthiasen, 2013). Dette materiale lånes ud til gymnasieklasser over hele landet. Men hvad er det, der gør, at projektet virker og forbinder matematik og historie på en relevant måde?

Logistisk vækst igennem historisk kilde

Sammen med Kristian Danielsen (Randers Statsskole) har jeg udarbejdet et materiale om logistisk vækst baseret på at nærlæse Verhulsts korte artikel fra 1838. Vi har prøvet forløbet af i matematikklasser, men vi vil meget gerne også have det prøvet af i tværfaglige samarbejder med fx historie, dansk, samfundsfag, engelsk, osv. Du kan se en kort teaser på YouTube – og hvis du er gymnasielærer og har lyst til at prøve materialet af og hjælpe os med at forbedre det, hører vi meget gerne fra dig.