Aritmetisering af analyse i 1800-tallet: Et amerikansk tilbageblik

Karl Weierstraß, Heliogravüre nach Gemälde von R. v. Voigtländer (Photo credit: Wikipedia)

Igennem 1800-tallet gennemgik analysen en udvikling, hvor især geometriske intuitioner og formelle argumenter baseret på “algebraens generalitet” blev erstattet med en aritmetisk funderet teori om grænseprocesser (for en introduktion, se fx Sørensen, 2013). Denne proces mod øget “stringens” kaldes nogle gange for “rigorisering” og andre gange, mere præcist, for “aritmetisering” fordi numeriske uligheder kom til at erstatte formelle og intuitive argumenter. Som sådan er denne udvikling vel beskrevet i matematikkens historie (nogle af klassikerne er Bottazzini, 1986; Grabiner, 1981; Grabiner, 2005). Blandt de store navne nævnes typisk Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) og Karl Weierstrass (1815–1897), og udviklingen synes blandt de ledende, især tyske, matematikere at være næsten afsluttet, da århundredet løb ud. Men hvordan endte denne ide med at komme til at definere matematikkens udvikling i det 19. århundrede?

Advertisement

Ny publikation: Gennem kaninhullet – hvordan matematikken blev moderne

Jeg interesserer mig meget for matematikkens udvikling i det 19. århundrede – både hvad man kan kalde den “indre” og den “ydre” udvikling. Tidligere i 2013 udkom en ny artikel, hvor jeg igen kombinerer de to tilgange:

I løbet af 1800-tallet gennemgik matematikken en række fundamentale forandringer, der dybt og bestandigt forandrede både rammerne for dens udøvelse og selve dens indhold. I starten af århundredet skabte unge matematikere helt nye matematiske teorier på måder som stod i kontrast til den tidligere generations brug af matematik til beskrivelse og forståelse af den omgivende verden. Denne udvikling har ikke så få sammenfald med samtidige romantiske tendenser i filosofi og litteratur, og alene på det biografiske niveau er der flere bemærkelsesværdige paralleller. Senere i århundredet blev matematik og naturvidenskab centrale faktorer i moderniseringen af samfundet, samtidig med at denne proces virkede tilbage på videnskaberne. Nye tekniske muligheder for fx at rejse og kommunikere indvirkede naturligvis også på matematikken. Og nye kunstneriske tendenser som impressionistisk og abstrakt kunst fandt deres paralleller i nye måder at gå til matematikken på. Mest bemærkelsesværdigt er det, at nogle af de nye matematiske ideer ikke kun var udvidelser af den eksisterende viden men forholdt sig udpræget og bevidst kritisk og omvæltende i forhold dertil.

I mit kapitel “Gennem kaninhullet: Hvordan et menneskeskabt monster medvirkede til at matematikken blev moderne” kan du læse mere om hvordan analytisk præcision og geometrisk intuition blev adskilt i løbet af det 19. århundrede. Især kan du læse om Weierstrass’ berømte og omdiskuterede eksempel på en funktion, der er overalt kontinuert men intet-steds differentiabel. Sådan en funktion bryder endegyldigt enhver naiv forstilling om at kurver og funktioner er en og samme ting.

Du kan købe bogen “Matematikkens Mysterier” fra Aarhus Universitetsforlag både som trykt bog og som e-bog.