Posted in Analysens historie, Geometriens historie, Hvordan matematikken blev moderne, Matematikhistorie, Projektforslag

Aritmetisering af analyse i 1800-tallet: Et amerikansk tilbageblik

Karl Weierstraß, Heliogravüre nach Gemälde von...
Karl Weierstraß, Heliogravüre nach Gemälde von R. v. Voigtländer (Photo credit: Wikipedia)

Igennem 1800-tallet gennemgik analysen en udvikling, hvor især geometriske intuitioner og formelle argumenter baseret på “algebraens generalitet” blev erstattet med en aritmetisk funderet teori om grænseprocesser (for en introduktion, se fx Sørensen, 2013). Denne proces mod øget “stringens” kaldes nogle gange for “rigorisering” og andre gange, mere præcist, for “aritmetisering” fordi numeriske uligheder kom til at erstatte formelle og intuitive argumenter. Som sådan er denne udvikling vel beskrevet i matematikkens historie (nogle af klassikerne er Bottazzini, 1986; Grabiner, 1981; Grabiner, 2005). Blandt de store navne nævnes typisk Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) og Karl Weierstrass (1815–1897), og udviklingen synes blandt de ledende, især tyske, matematikere at være næsten afsluttet, da århundredet løb ud. Men hvordan endte denne ide med at komme til at definere matematikkens udvikling i det 19. århundrede? Continue reading “Aritmetisering af analyse i 1800-tallet: Et amerikansk tilbageblik”

Reklamer
Posted in Analysens historie, Hvordan matematikken blev moderne, Matematikhistorie, Mathematics and Culture

Ny publikation: Gennem kaninhullet – hvordan matematikken blev moderne

Jeg interesserer mig meget for matematikkens udvikling i det 19. århundrede – både hvad man kan kalde den “indre” og den “ydre” udvikling. Tidligere i 2013 udkom en ny artikel, hvor jeg igen kombinerer de to tilgange:

I løbet af 1800-tallet gennemgik matematikken en række fundamentale forandringer, der dybt og bestandigt forandrede både rammerne for dens udøvelse og selve dens indhold. I starten af århundredet skabte unge matematikere helt nye matematiske teorier på måder som stod i kontrast til den tidligere generations brug af matematik til beskrivelse og forståelse af den omgivende verden. Denne udvikling har ikke så få sammenfald med samtidige romantiske tendenser i filosofi og litteratur, og alene på det biografiske niveau er der flere bemærkelsesværdige paralleller. Senere i århundredet blev matematik og naturvidenskab centrale faktorer i moderniseringen af samfundet, samtidig med at denne proces virkede tilbage på videnskaberne. Nye tekniske muligheder for fx at rejse og kommunikere indvirkede naturligvis også på matematikken. Og nye kunstneriske tendenser som impressionistisk og abstrakt kunst fandt deres paralleller i nye måder at gå til matematikken på. Mest bemærkelsesværdigt er det, at nogle af de nye matematiske ideer ikke kun var udvidelser af den eksisterende viden men forholdt sig udpræget og bevidst kritisk og omvæltende i forhold dertil.

I mit kapitel “Gennem kaninhullet: Hvordan et menneskeskabt monster medvirkede til at matematikken blev moderne” kan du læse mere om hvordan analytisk præcision og geometrisk intuition blev adskilt i løbet af det 19. århundrede. Især kan du læse om Weierstrass’ berømte og omdiskuterede eksempel på en funktion, der er overalt kontinuert men intet-steds differentiabel. Sådan en funktion bryder endegyldigt enhver naiv forstilling om at kurver og funktioner er en og samme ting.

Du kan købe bogen “Matematikkens Mysterier” fra Aarhus Universitetsforlag både som trykt bog og som e-bog.

Posted in Hvordan matematikken blev moderne, Matematikhistorie, Projektforslag

Abstrakt matematik mellem Hilbert og Noether

German mathematician David Hilbert, 1886
German mathematician David Hilbert, 1886 (Photo credit: Wikipedia)

En af de store fortællinger om matematikkens udvikling omkring 1900 handler om tiltagende abstraktion og tab af det intuitive og konkrete i matematikken. Mange historikere har forsøgt at indfange denne generelle udvikling og beskrive den, men det kan være svært at nå ind til noget håndfast. Derfor kan det være nødvendigt at fokusere på konkrete udviklinger, hvor matematiske kontekster er bundet sammen af kontinuerte forløb. Et sådant eksempel kan være at sammenligne Hilberts og Noethers beviser for en og “samme” kontroversielle, abstrakte sætning.

Continue reading “Abstrakt matematik mellem Hilbert og Noether”

Posted in Hvordan matematikken blev moderne, Matematikhistorie, Math Busters

Hvem byggede Hilberts Hotel?

Forestil dig et hotel med uendeligt mange værelser. Selvom alle værelser skulle være fyldt kan du altid få et værelse og en seng. Det eneste, portneren skal gøre er at bede gæsten i værelse nummer $n$ om at flytte til værelset nummer $n+1$, lige ved siden af. Så vil du endda kunne nøjes med at slæbe din bagage til det første værelse på gangen. Og selvom du ikke kommer alene men med en ven eller en hel bus eller alle gæsterne fra et andet lignende hotel, så er der altid plads nok til jer alle sammen, også selvom I alle sammen står i receptionen samtidig.

David Hilbert was one of the most influential ...
David Hilbert was one of the most influential mathematicians of the late 19th and early 20th centuries. (Photo credit: Wikipedia)

Dette meget illustrative eksempel på uendelighedsbegrebets mærkværdigheder kaldes oftest for “Hilberts Hotel” og er et eksempel på et matematisk argument, som har fundet vej til både populærkulturen og dybe teologiske diskussioner.

Men “hvor er det lige, at Hilbert beskriver sit hotel?” spørger en meget vidende og meget ærværdig kollega en dag over kaffe og kage. Ingen af de mange bøger og artikler, der henviser til hotellet giver præcise henvisninger til noget sted i Hilberts videnskabelige produktion. Og selvom Hilbert godt nok i 1925 har skrevet en artikel med titlen ”Om uendelighed”, så er der ikke skyggen af antydninger af hotellet i den. Så hvorfor er det så lige, at hotellet er opkaldt efter den store tyske matematiker?

Den tidligste omtalte af ”Hilberts Hotel”, som jeg har kunnet finde, stammer fra den russisk-fødte fysiker og forfatter Georg Gamows populære bog ”One, Two, Three … Infinity”. Gamow var foruden at være en meget dygtig fysiker, som også arbejdede sammen med Niels Bohr i København, også forfatter til nogle bemærkelsesværdigt succesfulde populære fremstillinger af matematik og naturvidenskab, ikke mindst eventyrene om Mr. Tompkins, som udkom fra 1939 til 1967.

Gamows “One, Two, Three … Infinity” først udgivet i 1947.

På side 17 I “One, Two, Three … Infinity” behandlede Gamow i et let forståeligt sprog den ide, at en del kan være lige så stor som helheden, hvilket åbenlyst strider mod både intuition og autoriteter som Euklid og Galilei. Og Gamow introducerede Hilberts Hotel som følger:

This is probably best illustrated by an example

taken from one of the stories about the famous German mathematician David Hilbert. They say that in his lectures on infinity he put this paradoxical property of infinite numbers in the following words:

Der findes en fodnote til denne indledning, hvori der kortfattet henvises:

From the unpublished, and ever never written, but widely circulating volume: “The Complete Collection of Hilbert Stories” by R. Courant.

Sporet synes således at lede til Hilberts tidligere assistent, kollega og gode ven Richard Courant, som i 1933 forlod Hilberts Göttingen til fordel for en karriere i New York i sikkerhed for nazisternes jødeforfølgelser. Courant ønskede i New York at opbygge et ”nyt Göttingen”, der kunne måle sig med matematikkens næsten mytologiske højborg – og han fortalte gerne og hyppigt om sine oplevelser i cirklerne omkring Hilbert. Men nogen nedskrevet version af Hilbert-historier blev det aldrig til – referencen var derimod et humoristisk men anerkendende nik fra Gamow.

Måske er matematikere mere tilbøjelige til at vise respekt for hinanden ved at opkalde resultater efter hinanden. Måske husker vi bedre historier, hvis de er knyttet op på et navn. Men der er i hvert fald ingen tvivl om at Hilberts Hotel er blevet et matematisk ”brand” i såvel matematiske som bredere kredse. Men den faktiske, kedelige historie synes at være at tilskrivningen til Hilbert er en anekdotisk røverhistorie, som dog viser respekt for en af matematikkens største helte.