Posted in Matematikken i Antikken, Mathematics and Culture

Romersk regning: Hvordan man kan klare sig uden et nul

Vi kender romertallene, M, L, D osv. Men der er ingen tegn for 0 (nul). Kendte romerne ikke denne enhed? Og hvordan regnede de egentlig? Hvad er f.eks. MCM x DL? Det kunne jeg godt tænke mig at vide. (Spørgsmål til Newton i Jyllands-Posten, 30. marts 2014)

Continue reading “Romersk regning: Hvordan man kan klare sig uden et nul”

Posted in Matematikhistorie i gymnasiet, Matematikken i Antikken, Mathematics and Culture

Antik matematik i gymnasiet

Antikkens matematik er et glimrende emne til matematikhistorisk undervisning, idet det både kan tjene til at vise eleverne centrale dele af matematikkens arkitektur (den aksiomatisk-deduktive opbygning), forbindelserne til filosofi og oldtidskundskab, og diskussioner om forholdet mellem teoretisk og praktisk viden i en fjern kultur. Nogle af disse emner er eksemplarisk dækket i fx

  • Glunk, C. m.fl. (2006). Q. E. D. Platon og Euklid tegner og fortæller. København: Gyldendal.

Et centralt værk er selvfølgelig Euklids Elementer, hvoraf uddrag er nyoversat i QED (se ovenfor). Men Thyra Eibes klassiske oversættelse er stadig værd at konsultere.

  • Euklid (1897–1912). Euklids Elementer. Oversat af T. Eibe. 6 bd. København: Nordisk Forlag.

For nylig har nogle af folkene bag QED også nyoversat og kommenteret værker af Archimedes til brug for gymnasiet.

Forbindelsen til filosofi vil typisk skulle involvere Platons dialoger, fx Menon (som er oversat i QED), Timaios eller Theaitetos.

Jeg har også beskæftiget mig med relaterede emner her på bloggen, fx i diskussionen om Platons matematiske kosmologi eller om græske forhold. Og sammen med Kristian Danielsen arbejder jeg på et nyt materiale om Herons matematik.

Posted in Matematikhistorie

Nullets historie (3/3)

Nogle filosofiske refleksioner om nullets natur

For de græske matematikere var tal ”størrelser sammensat af enheder”, og hverken 0 eller 1 kom altså i betragtning som tal. Oversat kan man se dette som intuitivt, da ingen objekter ikke er et antal objekter, ligesom 1 objekt heller ikke (bogstaveligt) er et antal objekter da forskellen mellem objektet og samlingen af objektet først blev ekspliciteret i 1800-tallet (Frege etc.). Men når vi alligevel insisterer på, at 0 og 1 er tal, så er det altså fordi vi opfatter dem som størrelser af henholdsvis den tomme mængde og en singleton: De kommer altså til at svare til begreberne ”ingen” og ”den”. Og det giver god mening, især fordi vi gerne vil have et godt matematisk system, hvor vi fx kan regne med negative tal.

Et meget interessant filosofisk tilfælde er tænkeren Gregor Reisch, hvis bog udgjorde grundlaget for forelæsninger ved universiteternes filosofiske fakulteter omkring 1500. Reisch beskrev blandt andet i sin definition, hvordan ”enheden er intet tal, men tallets oprindelse” (Reisch’s Margarita philosophica 1504). Ramus beskrev i 1569 dette således: ”Et tal er det, hvormed en hvilken som helst ting tælles”, og fordi han betragtede ”tælling” som omfattende alle aritmetikkens fire operationer, blev hans talbegreb mere udvidet. Senere formulerede Stevin det sin version af definitionen: ”et tal er det, hvorigennem enhver genstands kvantitet kommer til udtryk” (1585), og herved er 1 blevet et tal, mens 0 nærmere bliver tallenes begyndelse, deres princip.

Negative tal er en anden besynderlig konstruktion i matematikkens historie, og det tog lang tid, før de blev accepterede som tal og givet en forståelse, der rækker ud over at de passer i regninger. En tidlig fortolkning af negative tal (og ikke bare ”trække-fra-tal”) som gæld er senere blevet gjort præcisere ved at opfatte dem som additivt inverse til positive tal, altså $a+(-a)=0$, og dermed opfatte dem som at gå ”den anden vej” ud af tallinjen (fx Wallis’ (1616-1703) fysiske fortolkning: ”At gå -3 skridt fremad er det samme som at gå tre skridt baglæns”).  Selvom denne forståelse er (og var) intuitiv, tog det lang tid før den blev anerkendt som begrundelse for de negative tal (og nul) – indtil da blev negative løsninger til ligninger fx kaldet ”falske” eller ”fiktive” løsninger (Cardano 1545, Descartes 1637). Og en del af baggrunden for dette er, at de optræder algebraisk men ikke svarer til geometriske størrelser i de problemer, som den algebraiske repræsentation stammer fra. Og selv Immanuel Kant (1724-1804) behandlede problemet i afhandlingen Versuch den Begriff der negativen Grössen in die Weltweisheit einzuführen fra 1763; der beskrev han, hvordan ”de negative størrelser er ikke negationer af størrelser, som ligheden i udtrykkene kunne lade formode, men noget som i sig selv er sandt positivt, og som blot er modstillet noget andet”. Mere præcist: ”Det er modstillet hinanden, hvoraf det ene ophæver det, som er sat af det andet”. Og nullet blev i denne anledning til den balance, som modstillingen spænder omkring.

Tilsvarende skelnede man fx mellem fuldstændige og ufuldstændige ligninger (afhængig af om alle polynomielle led var medtaget eller ej). Og så længe man ikke accepterede nul som en koefficient, var der mange forskellige typer ligninger, som alle måtte beskrives individuelt, fx 6 kvadratiske ligninger hos al-Khwarizmi, fx ”kvadrat og tal er lig rødder”: ”et kvadrat og 21 i tal er lig med 10 rødder af det samme kvadrat”. Hver af disse typer ligning måtte – i hvert fald i princippet – have sin egen løsnings procedure, og dette blev for alvor omfattende, da Omar Khayyam og andre senere forsøgte at tage skridtet videre til at betragte kubiske ligninger.

Der findes imidlertid også andre positionstalsystemer end hindutallene – et af dem, der hele tiden omgiver os er det binære talsystem, som er et 2-tals-positionssystem. Blandt de allerførste til at studere de binære tal var matematikeren og filosoffen Leibniz, som ud over deres rent matematiske egenskaber også var interesseret i dem af teologiske grunde. For i de binære tal så han en forklaring på Guds skaberværk: Ud af intet (0) og det guddommelige (1) kunne alle tallene skabes. Dette argument udviklede han i korrespondance med en jesuittermunk ved navn Bouvet.

Problemet med nullets natur som angivelse af størrelse bliver blot endnu tydeligere, hvis vi overvejer dets potentiale som ordenstal. Vi taler nemt om første gang, anden gang, tredje gang; eller om 1. klasse, 2. klasse, etc. Men at tale – som vi jo nu også gør – om 0. klasse i skolen er ret beset at gøre vold på et begreb; eller rettere: der ligger en dybere matematisk mening bag ved, nemlig at tal-rækken (og i dette tilfælde ordenstals-rækken) besidder en vis systematik (som den ikke nødvendigvis gør i dette tilfælde).

Og foruden at vise sprogets fleksibilitet viser dette eksempel også matematiske strukturer og regularitet er en drivkraft i megen matematisk begrebsdannelse. Hvis vi som moderne matematikere nemlig betragter de hele tal som en struktur, vil vi opfatte 0 som et additivt inverst element, dvs. $a+0=0+a=a$ for alle a. Og om dette kan man endda bevise, at 0 er entydigt: Antag nemlig, at både 0 og 0’ er additivt inverse elementer. Så er (ved at sætte a=0’ i ovenstående definition af 0): $0+0’ = 0$. Men samtidig er $0+0’=0’$, og ved at sammensætte får man konklusionen $0=0’$. For en matematiker er selv den slags oplagte ræsonnementer om ingenting således ikke det rene sofisteri!

Leibniz's medalje, hvor man kan se regning med binære tal.
Leibniz’s medalje, hvor man kan se regning med binære tal.
Posted in Matematikhistorie

Nullets historie (2/3)

Indien: Nuller er svære at regne med

I den indiske kultur – som ligesom den mesopotamiske og den hellenistiske var astronomisk interesseret – finder man i indskrifter fra 600-tallet et symbol for nul som en prik eller en cirkel. Og i nogle af deres matematiske skrifter, fx Brahmagupta (også fra 600-tallet), findes angivelser af, hvordan man opererer med nul, fx:

Summen af nul og noget negativt er negativt, <summen af nul> og noget positivt er positiv, <summen af> to nuller er nul. Noget negativt trukket fra nul bliver positivt […] Produktet af nul og noget negativt eller positivt er nul; <produktet> af to nuller er nul […] Nul divideret med nul er nul […]

Den sidste del af citatet – at 0/0 er 0 er en af de første angivelser af en løsning på en udfordring, som vi stadig har: Nul har nemlig ikke nogen let aritmetik, når det kommer til division. Og Brahmagupta og andre indiske matematikere havde endnu sværere ved at formulere, hvad der sker, når man dividerer med nul. Fx siger Bhaskara i 1100-tallet, at ”en størrelse med divisoren 0 forbliver uændret, hvis man til den føjer eller fra den trækker vilkårligt meget”. Men han siger også, at:

Produktet <af en given størrelse> og nul er nul, men det må bibeholdes som et mangefold af nul, når der følger en anden operation efter. Hvis nul <først> er en multiplikator og derefter en divisor, så forbliver den givne størrelse uændret.

Denne form for en udvidet regning med 0 skulle blive en endnu større udfordring for differentialregningens opfindere (inkl. precalculus) i 1600-tallet, da deres metoder baserer sig på hvad der af kritikere blev beskrevet som en ”nullernes algebra”.

Det er morsomt at vide, at da den berømte norske matematiker Niels Henrik Abel langt senere – i begyndelsen af 1800-tallet – blev undervist af sin herostratisk berømte far i regning, så foregik det ud fra faderens egen hjemmelavede regnebog, hvor den første indgang i additionstabellen (fejlagtigt) er 0+1=0.

De hindu-arabiske tal og deres ankomst i Vesteuropa

Vores moderne talsystem – med dets 10 (eller 9) taltegn og baseret på et 10-tals-positionssystem – kaldes for det ”hindu-arabiske talsystem” fordi det oprindeligt kommer fra Indus-regionen men er formidlet til Vesteuropa gennem den islamiske kulturkreds.

En helt central skikkelse i denne formidling er den persiske matematiker al-Khwarizmi (780-850), som virkede i Bagdad. Al-Khwarizmi er særligt berømt for to værker – dels hans værk om løsning af kvadratiske ligninger, hvorfra begrebet algebra stammer (830), og dels hans bog om ”regning med hindu-tal” fra omkring 825. Da det sidste værk blev oversat til latin blev det kendt som Algoritmi de numero Indorum, hvor transliterationen af al-Khwarizmis navn så siden har givet anledning til begrebet ”algoritme”.

Dette værk præsenterede det indiske talsystem og regning i positionssystemet, og gjorde dette system kendt i den islamiske kulturkreds i det første århundrede efter al-Khwarizmi. Den lærde Gerbert af Aurillac (946-1003, pave 999) – den senere pave Sylvester II – blev blandt andre bekendt med det under sine rejser omkring Middelhavet som ung. Da han senere kom i betragtning som pave var det faktisk ikke en fordel – nærmere en kættersk skygge – at være i stand til at regne med de fremmede ”arabertal”.

De nye arabiske tal dukker første gang op i Europa i et manuskript fra omkring 976 – og i første omgang uden et symbol for 0 eller en egentlig beskrivelse af deres operationer. I stedet kommer Al-Khwarizmi og de hindu-arabiske tal for alvor til Vesteuropa igennem oversættelser foretaget af bl.a. Robert fra Chester i 1120 og Adelard fra Bath (1080-1152), som igennem kulturudvekslingen i Spanien og igennem korstogene kom i forbindelse med islamisk viden. Og igennem rejser i Middelhavsområdet kom også Leonardo fra Pisa (kendt som Fibonacci, 1170-1250) i kontakt med det nye talsystem, som han beskrev i sin Liber abaci fra 1202. Deri viste han også det nye talsystems anvendelighed i bogholderi og til løsning af matematiske problemer. Og selvom tegnene har udviklet sig noget i forskellige håndskrifter, standardiseredes de i perioden op til bogtrykkekunstens opfindelse. Leonardo skriver forbilledligt:

De ni indiske tegn er 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Med disse ni tegn og med tegnet 0, som araberne kalder ’zephirum’ (ciffer) kan man skrive et hvilket som helst tal, som vi skal demonstrere  i det følgende.

Og netop denne mulighed for at skrive alle tal – og regne med dem – skulle blive kernen bag hindutallenes sejrsgang. I Reisch’ værk bliver det fremstillet som en konkurrence mellem algoristen (hindutallene, som man kan regne med på papir) og abacisten (romertallene, som kræver et eksternt apparat for at blive behandlet) – og aritmetikkens lys skinner på algoristen – og dermed nullet – som sejrherren.

Træsnit fra Gregor Reisch, som viser konkurrencen mellem algoristen og abacisten.
Træsnit fra Gregor Reisch, som viser konkurrencen mellem algoristen og abacisten.
Posted in Matematikhistorie

Nullets historie (1/3)

Talbegreber og talsystemer

Forskellige kulturer har haft forskellige talbegreber, og det er nyttigt at kunne skelne mellem tre relaterede aspekter, nemlig talsystemer (herunder aritmetiske algoritmer), talord og taltegn (eller talsymboler). Disse kan alle ses som repræsentationer af bagvedliggende talbegreber, som sjældent ekspliciteres helt, men hvis forskelle kan spores gennem de forskellige systemer, ord og tegn, som overleveres i kilderne. Og nogle gange er der forbindelser – fx mellem talordet ”nul” (eller bedre på engelsk: ”naught”) og taltegnet 0, som næsten mimer hinanden, hvilket også Holberg (og Shakespeare fx i King Lear 1603-06) forstod at udnytte. For eksempel karakteriserer narren King Lear som “An O without a figure”, hvor han dermed både spiller på tallets betydning og symbolets udseende.

Nogle talsystemer, fx det egyptiske eller romertallene har ikke behov for og ikke plads til et særskilt tal for nul: Regning i de to systemer fungerer ved “ophobning”, fx på et eksternt redskab, og ikke ved egentlige procedurer udført på talrepræsentationerne. Derfor gav det ikke mening for dem at betragte nul som et antal (som et tal), ligesålidt som de græske talteoretiske resultater hos Euklid giver enheden (1-tallet) status som et tal. I stedet kan vi måske tænke om deres forhold til disse tal som at “0 mænd” svarer til “ingen mænd” og at “1 mand” svarer til “manden”.

Hvis man således betragter forskellige talsystemer, så er det i sammenhæng med nullets historie især vigtigt at indkredse positionstalsystemerne, idet nullet her spiller en helt særlig rolle. Bare for at tage et (relevant) eksempel: I den præ-colombianske maya-kultur havde man et veludviklet talsystem til brug for især kalenderberegninger. Det var baseret på et 20-tals-positionssystem med tegn for 1 og 5, og havde faktisk også symboler for 0 (faktisk flere af slagsen). Et årstal svarende til 36 f.v.t. er skrevet med brug af sådan et nul – længe før et selvstændigt symbol for nul dukkede op i fx Vesteuropa.

Babylon og Grækenland: Astronomiske nuller

Men for nullets historie i Vesteuropa er det vigtigste sted at starte i den mesopotamiske kultur i det nuværende Irak (mellem Eufrat og Tigris) i højkulturen fra omkring 1500 f.v.t. [se også tidligere post om mesopotamiske tal]. Der havde man et talbegreb, som blev repræsenteret i kileskrift med to forskellige kiler for 1 og 10. Talsystemet var et 60-tals-positionssystem, men der var til at begynde med ikke noget tegn for en tom plads – der angives blot et lidt større mellemrum mellem ”cifrene” eller cifrene skrives i forskellig fysisk størrelse. Senere (i Seleukide-perioden fra 2. årh. f.v.t.) optræder et skilletegn som markering af en tom plads – skilletegnet er to sammensatte mindre hak.

Og regning med nul forekommer heller ikke i de ellers meget omfattende eksempler på matematiske opgaver, som den babylonske skriverkaste blev trænet i. Hvis man fx i rentes-regnings-opgaver skulle ende med at kapitalen blev nul (i vores sprogbrug), ville man skrive: ”kornet er fortæret”.

Fra den mesopotamiske kultur (og i mindre grad fra den egyptiske før den) har vi masser af eksempler på praktisk regning og på aritmetisk problemløsning. Fra den græske højkultur har vi derimod mest eksempler på en anden type bevisende matematik, som også gjorde tallene til genstand for filosofisk undersøgelse. Det skete blandt andet i en af bøgerne i Euklids berømte Elementer (omkring 295 f.v.t.), nemlig den talteoretiske bog VII. Og her er talbegrebet faktisk eksplicit defineret: Tal er ”størrelser sammensat af enheder”. Denne definition udelukker 1 som et tal – det er enheden, hvormed tallene måles, og 0 er da slet ikke på tale som et tal. Vi har i stedet fået ekspliciteret en ide om tal som kardinaltal – angivelser af størrelser af mængder (samlinger).

Men i den mere praktiske ende af matematikken – især i astronomien – overtog grækerne 60-tals-positionssystemet fra babylonerne. Og her dukkede en ny opfindelse op i Ptolemaios’ tabeller i den berømte Almagest (2. årh. e.v.t.): Ptolemaios bruger det græske tegn omicron som indikation af en tom plads – måske fordi omicron er det første bogstav i det græske ord for ”intet”. Og dermed har nullet for første gang fået sin moderne form.

Posted in Matematikhistorie, Projektforslag

Stor ståhej om ingenting: Nullets historie

Vi bruger betegnelsen “nul og niks” til at betyde “overhovedet ingenting”, og man skulle måske tro, at der ikke var så meget at sige om selve dette ingenting. Men matematikere og filosoffer har igennem århundreder undret sig over nullets natur. Det centrale paradoks blev udmærket fanget af Holberg i komedien Den Stundesløse fra 1731. Nullet er et tegn, som i sig selv ingen betydning har, kan sammen med andre taltegn pludselig betyde millioner til forskel – ”bogstaveligt” talt:

Et Null betyder intet, men naar en Streg kommer dertil, blir det strax til noget . . naar min Stregs Ringhed blir lagt til Jomfruens Null . . Jeg fortalede mig skiønne Jomfru! jeg er kun et Null, som intet betyder; men Jomfruen Stregen. (Holberg: Den Stundesløse, II.3, 1731)

Selvom man måske skulle tro noget andet, så er nullet faktisk en relativt sen tilføjelse til talsystemet – men en meget vigtig en, og det er en interessant historie, som tager os fra kulturens vugge til de mest moderne matematiske rafinementer.

Du kan høre meget mere om nullets historie og natur i udsendelsen Eksistens på DR P1, som blev sendt 6. januar 2014. Carsten Ortmann interviewer Peter C. Kjærgaard og Henrik Kragh Sørensen.

Du kan også læse mere om nullets og de andre tals historie, fx i følgende anbefalelsesværdige værker:

  • Gericke, H. (1996). Talbegrebets historie. Oversat af K. Andersen og K. Larsen. Århus: Matematiklærerforeningen og Institut for de Eksakte Videnskabers Historie, Aarhus Universitet.
  • Katz, V. J. (2008). A History of Mathematics. 3. udg. Harlow: Addison Wesley.
  • Menninger, K. (1992). Number Words and Number Symbols. A Cultural History of Numbers. Først offentliggjort: 1969. New York: Dover Publications, Inc.
  • Sørensen, H. K. (2010). “Tusind Engle på et Knappenålshoved: Matematikken i Middelalderen”. I: Middelalderens Verden: Verdensbilledet, tænkningen, rummet og religionen. Udg. af O. Høiris og P. Ingesman. Århus: Aarhus Universitetsforlag, s. 91–104.

I de følgende tre blog-posts behandler jeg nogle udvalgte aspekter af nullets historie, som også kan gøres til genstand for yderligere studenter-projekter.

  1. Om talbegreber og nullets brug i tidlig astronomi
  2. Om indiske problemer med at regne med nul og de hindu-arabiske tals ankomst i Vesteuropa
  3. Om nogle filosofiske refleksioner omkring nullets natur
Fra opførelse af Holbergs "Den Stundesløse"
Fra opførelse af Holbergs “Den Stundesløse”
Posted in Matematikhistorie

Hvad Abel gjorde, men ikke længere gør: Matematikhistorie og historisk nutid

English: William Rowan Hamilton Plaque Plaque ...
English: William Rowan Hamilton Plaque Plaque on Broome Bridge on the Royal Canal commemorating William Rowan Hamilton’s discovery. (Photo credit: Wikipedia)

Når man skriver matematikhistorie har man jo ofte brug for at beskrive matematikeres handlinger i fortiden. Men hvordan gør man det bedst rent grammatisk. For hvor det at skrive “Hamilton går over Broome Bridge, Dublin” nok for de fleste er en utimelig aktualisering af en konkret (omend mytisk) historisk hændelse, så er er “Hamilton finder ud af at $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$” eller endog “Hamilton kritiserer Abels argumenter” tilsyneladende mere mundrette. Og i nogen grad er de også berettigede, i hvert fald hvis man kan holde en konsistent linje mellem brug af (historisk) nutid og datid.

Nu er brugen af historisk nutid jo ikke forbeholdt matematikhistorikere (for yderligere rant, se også det passionerede og prisværdige indlæg af Ben Yagoda). Men for matematik kan der være en særlig udfordring, som går dybt ind i fagets videnskabsteoretiske og metafysiske antagelser. Vi er vant til at antage, at når noget er bevist, så gælder det “altid” og “for alle individer”. Derfor er den matematiske litteratur også så fuld af passiver: “Lad det være givet” (for hvem? og i hvilken tidslig situation?), “heraf følger” eller “heraf ses” (for hvem? hvordan?) etc. Så når vi skal redegøre for matematiske argumenter udført i fortiden af konkrete aktører, kan vi også godt være fristede til at benytte historisk nutid.

Men det er nu min opfattelse, at almindelig datid løser problemet mindst lige så godt, forudsat at man tilføjer den aktør, som i forvejen er en forudsætning for at give historisk mening til den matematiske proces. Der er ikke tale om, at “Abel viser, at femtegradsligningen ikke kan løses algebraisk” – og da slet ikke “det bliver bevist at femtegradsligningen ikke kan løses algebraisk”, men derimod, at “Abel i 1824/1826 fremsatte beviser for, at femtegradsligningen ikke kan løses algebraisk”. Abels beviser var dele af den matematiske diskurs, som de indgik i, og vi har (matematikhistorisk) ikke brug for at hævde, at de stadig gælder. Blot har vi brug for at vise, at de i samtiden blev antaget som gode argumenter, der løste et gammelt problem. At hævde det andet – at de endegyldigt løste problemet – ville for øvrigt også være at nedtone bidrag fra Galois og Kronecker samt en lang række andre vigtige matematikere.

Så selvom jeg kan forstå og acceptere udpræget brug af historisk nutid også i matematikhistorie, så er min anbefaling af en konservativ slags: Hvad får man matematikhistorisk ud af at bruge nutid? Hvis ikke svaret er overbevisende vil min indstilling forblive at være en forkærlighed for datid, som jo i sidste ende præcist er det grammatiske redskab til at vise, at noget er foregået i fortiden.

Posted in Matematikhistorie, Rejseguide

Matematikhistorie som detektivroman: mesopotamiske tal

Tallet 60 repræsenterer på flere måder det fuldkomne — vi ved jo godt, at der går tres minutter på minut- og sekundviserens omgang — men hvorfor nu egentlig det? Svaret på det spørgsmål involverer nogle lertavler fra en af verdens krigshærgede regioner, en vidtrækkende matematisk ide og en mand der blev forvekslet med en konge.

I området mellem floderne Eufrat og Tigris i det nuværende Irak blomstrede for næsten 4000 år siden en kultur med en høj grad af central organisering og et imponerende kendskab til matematik og astronomi: Vi kalder i dag kulturen for “mesopotamisk” — hvilket betyder “mellem floderne” — eller lidt mindre præcist “babylonsk” efter en af de centrale byer, Babylon. Den mesopotamiske kultur dominerede regionen fra omkring 2000 f.v.t. til Babylons fald i 539 f.v.t., og trods det store span var der faktisk tale om en bemærkelsesværdigt stabil kultur. Selvom det er så længe siden, har vi faktisk god kronologisk viden om den babylonske kultur, hvilket bl.a. skyldes deres skriftkultur og deres astronomiske kalendersystem. Denne imponerede viden bevidnes i dag af den engelske ekspert Eleanor Robsons twitter-beskeder (@Eleanor_Robson), hvori hun har påtaget sig at tweete sig baglæns i den mesopotamiske civilisations historie i takt med at hendes follower-tal vokser.

Det babylonske 60-talssystem

Det mesopotamiske talsystem var bygget på en bemærkelsesværdig nyskabelse i forhold til det tidligere og til dels samtidige egyptiske talsystem. Hvor egypterne havde forskellige symboler for forskellige relevante potenser af 10 (altså 1, 10, 100, 1000, 10.000 og enkelte andre, se figur, havde man i Babylon kun to forskellige talsymboler, som angav henholdsvis 1 og 10 (se figur).

StenoMusen60-figur-1
Egypternes taltegn for potenser af 10.
StenoMusen60-figur-2
Babylonerne havde kun taltegn for 1 og for 10 – til gengæld kunne deres værdi afhænge af deres position i mere sammensatte tal. Således kan symbolet for 32 (med 3 10’erne og 2 1’enere) også betyde 32*60 eller 32*1/60.

I stedet for som egypterne at stakke symbolerne op, var det babylonske talsystem et 60-tals-positionssystem, således at symbolet for 1 også kunne betyde 60, 3600 = 602, etc. afhængig af, hvor det stod i tallet (se figur). Symbolet sammensat af 3 10’ere og 9 1’ere (se figur) kan så både betegne 39, eller 39*60 eller 39*1/60 eller nogen af de uendeligt mange andre muligheder svarende til andre potenser af 60.

StenoMusen60-figur-3
Tallet 140.432 skrevet i egyptisk, babylonsk og moderne notation.

Derved blev regning gjort væsentligt lettere ved hjælp af generelle metoder til at addere og multiplicere; division blev ligesom i Egypten klaret ved at gange med den omvendte brøk. Derved blev babylonske skrivere (gejstlige og verdslige embedsmænd) i stand til at foretage omfattende beregninger, selvom fx multiplikation måtte baseres på en meget stor “lille tabel”: hvor vi i dag kan nøjes med at lære tabellen op til 9 gange 9 som opslag (udenadslære) måtte en babylonsk skriver kunne helt op til 59 gange 59, og dette krævede selvfølgelig en tabel. Det er nogle af disse regne-støttende tabeller samt en masse træningsopgaver, vi i dag har bevaret i form af lertavler med indprentet kileskrift. Disse multiplikations-tabeller kan — sammen med fx egyptiske tabeller for reduktion til stambrøker — ses som nogle af de tidligste epistemiske artefakter, og pointen er, at de er højst afhængige af og samtidig nødvendige for det matematiske (regnetekniske) system, i hvilket de er producerede.

Siden man — især i starten af 1900-tallet — igen fik afkodet sproget og kunne begynde at læse og oversætte skriften på lertavlerne, fandt man ud af, at mange af dem med matematisk indhold stammede fra en skriver-skole, hvor matematik åbenbart var en væsentlig del af undervisningen. Og noget af den matematik, man skulle lære, var umiddelbart relevant for statsadministrationen — simpel aritmetik, tabeller — men dels fandt man også omfattende astronomiske optegnelser, og dels fandt man en række matematiske typeopgaver, som i dag er berømte fordi de svarer til algoritmer til løsning af kvadratiske ligninger.

Inden for de seneste år har man fokuseret megen forskning på at oversætte, forstå og fortolke lertavlerne ved at inddrage mere end den interne matematiske sammenhæng. Således har man bl.a. fokuseret på de udsagnsord og navneord, som indgår i opskriften. Her har den danske ekspert Jens Høyrup påvist, hvordan de dækker over fysiske aktiviteter (at brække en størrelse i to, at afsætte et fremspring, etc.) så antyder, at der har været en geometrisk forståelse bag ved den konkrete præsentation af opskriften. Dette antyder, at babylonierne tænkte geometrisk, men udtrykte sig algebraisk — dette synes matematikhistorisk bemærkelsesværdigt, idet vi fra græsk matematik har overleveret de geometriske beviser, mens grækerne tilsyneladende ikke havde store interesser i algoritmiske og algebraiske aspekter. Ved at påpege en geometrisk forståelse bag algoritmerne får man derfor også et glimt af, hvordan babylonierne måske har kunnet ræsonnere omkring korrektheden af deres opskrifter — sådanne beviser er nemlig ikke overleveret på lertavlerne.

StenoMusen60-figur-4
Lertavlen kendt som Plimpton-322 er en af de mest bemærkelsesværdige og omdiskuterede tabeller fra mesopotamisk kultur.

Matematikhistorie er som en detektivroman

Det matematiske indhold udpeger imidlertid ikke entydigt fortolkningen af de gamle lertavler, og når dette kombineres med de betydelige forskelle i sprog og notation, der består mellem de mesopotamiske kilder og vores nuværende matematiske apparat, bliver det en delikat sag at læse, beskrive og fortolke mesopotamisk matematik. Læseren — såvel forskeren som gymnasieeleven — bliver til en slags detektiv, som både skal forsøge at finde meningen med kilden og sandsynliggøre, hvordan dens indhold er blevet til. Alligevel kan emnet — sammen med fx egyptisk matematik — give et fascinerende indblik i en længst svunden kulturs høje niveau af matematisk formåen. Men man skal holde tungen lige i munden, allerede når man skal give mening til den mesopotamiske regningsteknik.

Vi har jo i dag et 10-tals-positionssystem (de såkaldt hindu-arabiske tal, som kom til Vesteuropa fra Indien via den islamiske kultur omkring år 1000) — og det har nogle oplagte paralleller med det mesopotamiske system — cifrenes betydning afhænger af, hvor i tallet, de står. Men der er også to oplagte forskelle: 1) Der fandtes i den mesopotamiske kultur ikke noget symbol svarende til vores 0, så tomme positioner blev angivet med et lille mellemrum mellem kiletegnene — så rent typografisk var der absolut ingen forskel på isolerede symboler for 1 og 60. I sådanne tilfælde må vi som matematikhistoriske detektiver overveje, hvor godt forskellige alternativer passer på de forhåndenværende oplysninger — og her giver de efterfølgende udregninger tit et ret entydigt svar. Og 2) vi skriver ikke i dag cifrene i tallene på samme måde som babylonierne — i stedet er det effektivt at oversætte babylonske cifre til deres tilsvarende værdi i 10-tals-systemet. Således vil vi måske kunne skrive 39; 0; 32 for 140:432. For brøker i 60-talssystemet kan vi så bestemme os for — helt i overensstemmelse med den mesopotamiske repræsentation — at skrive 0; 20 for 1/3 og 0; 6; 40 for 1/9 og så videre. Når vi så skal gøre rede for, hvordan man udførte operationer på disse tal er det imidlertid vigtigt ikke at blive forledt af vores oversættelse, men at værdsætte, hvordan man opererede i 60-tals-systemet.

Vi står altså med mesopotamisk matematik — som med alle andre historiske kilder — med en fundamental fortolknings-udfordring. Men hvor man tidligere er blevet forledt af det matematiske indholds tilsyneladende genkendelighed, får man i dag meget mere ud af kilderne. Når man — meget gerne på et museum — betragter genstandene i deres materialitet, får man et nyt perspektiv på deres frembringelse og kontekst. Og når forskere i dag nærstuderer det sprog, der bærer det matematiske indhold, finder de et næsten taktilt, bagvedliggende geometrisk tæppe, som afslører den proces-tilgang til matematik, som tavlerne har indgået i. Og når man betragter en tavle — selv et replika — kan man måske begynde at værdsætte, at enhver oversættelse til moderne notation kan hjælpe detektiven til at komme i gang, men ikke kan udgøre en fuld forklaring af den rige historiske kontekst, hvor selv genkendelige entiteter som tal og positions-systemer alligevel så anderledes ud. For at komme så langt må man forsøge at tænke som en babylonsk skriver — man må “go native”.

En af de helt centrale anvendelser af matematik i den mesopotamiske kultur drejede sig om astronomiske observationer og forudsigelser. Man ved, at de førte nøje tabeller over deres observationer, og benyttede matematiske fremskrivninger til at forudsige påfaldende fænomener som formørkelser m.v. Disse tabeller var tilsyneladende så præcise og brugbare, at de blev inkorporeret af græske astronomer efter at det kulturelle centrum var flyttet til Alexandria i det nuværende Egypten i den hellenistiske periode. Det gjorde sig ikke mindst gældende hos den berømte astronom Ptolemaios (ca. 150 e.v.t.), som samlede astronomisk teori og empiri i sit værk kendt som Almagesten. Derigennem kom det babylonske 60-tals-system med dets grader, minutter og sekunder til at blive en varig repræsentation af astronomiske data, og herfra også af tidsangivelser, således at vi stadig bruger det på vores ure. Navnet Ptolemaios var udbredt i makedonske overklasse på Alexander den Stores tid, og alle de græske konger (faraoner) af Egypten fra 323 f.v.t. til 30 f.v.t. bar dette navn. Sikkert af den grund er astronomen Ptolemaios fejlagtigt blevet antaget at være af royal afstamning, og han afbilledes i middelalderen ofte med en kongekrone. Ptolemaios udarbejdede også kordetabeller, som relaterer korden i en cirkel til den bue, den spænder over. Sådanne tabeller har stor astronomisk betydning og overførte de astronomiske 360 grader, minutter og sekunder til måden at måle cirkelbuer og dermed vinkler på.

StenoMusen60-figur-5
Illustration af korden k, som spænder over buen b.
StenoMusen60-figur-6
Astronomen Ptolemaios afbildet med kongekrone i værk fra 1500-tallet.

Og dermed er vi så måske faktisk nået hele vejen rundt i cirklen: 60 er ikke bare et tilfældigt rundt tal — det er et tal med mange divisorer, som har en rig matematisk og astronomisk historie bag sig. Og når man — for eksempel på et museum som Steno Museet — går på opdagelse i denne historie kan man få et indblik i, hvordan matematik har været anderledes — omend genkendeligt — i fortiden. Og for den, der har tålmodighed, nysgerrighed og mod er matematikkens detektivhistorier ikke at foragte for Arthur Conan Doyles, George Simenons eller Dan Browns fiktion.

Forslag til yderligere læsning

  • Gericke, H. (1996). Talbegrebets historie. Oversat af K. Andersen og K. Larsen. Århus: Matematiklærerforeningen og Institut for de Eksakte Videnskabers Historie, Aarhus Universitet.
  • Høyrup, J. (1998). Algebra på lertavler. Matematiklærerforeningen.
  • Robson, E. (2008). Mathematics in ancient Iraq. A social history. Princeton: Princeton University Press.
  • Schimmel, A. (1993). The Mystery of Numbers. New York og Oxford: Oxford University Press.

On embodied mathematics, conceptual metaphors and the romance of mathematics

On Thursday May 2, 2013, I will be giving a presentation at the Interdisciplinary Day Seminar devoted to The Body – Materiality and Meaning (Aarhus, 11.15 to 16.00, room 1586-120). My talk will be a brief outline of the relatively recent approaches to the philosophy of mathematics from cognitive science, in particular building on the work of George Lakoff and Rafael E. Núñez in their seminal book Where Mathematics Comes From. The talk will also include some reflections on the role of gestures in mathematics as a way of evaluating the approach as a philosophical account of mathematical practice.