Posted in Logistisk Vækst, Matematikhistorie, Matematikhistorie i gymnasiet, Matematikkens videnskabsteori

Video: Logistisk vækst

I januar 2018 var der premiere på den video om Verhulst og logistisk vækst, som Bjørn Grøn m.fl. har produceret i serien “10 danske matematikere – 10 matematiske fortællinger”. Filmen varer en halv time og giver en introduktion til konteksten og indholdet i Verhulst’s oprindelige modellering af befolkningsvækst, som førte ham til logistisk vækst. Der indgår også en matematisk udledning af løsningsformlen for den logistiske differentialligning ved separation af de variable og brug af partialbrøker. Endvidere er der også en diskussion af modellingsprocessen og de indgående æstetiske og pragmatiske valg, samt af modellens store sensitivitet til valg af datapunkter i Verhulst’s oprindelige forståelse af modellens status.

Reklamer
Posted in Matematikhistorie, Matematikkens videnskabsteori

Vejlederbrev til bachelor- og specialeprojekter

Hvad vejleder jeg?

Jeg vejleder bachelor- og specialeprojekter inden for matematikkens historie og videnskabsteori. Indholdsmæssigt er der rigtig mange muligheder, og det kan også lade sig gøre at integrere didaktiske vinkler i historiske eller filosofiske projekter.

Hvordan vejleder jeg?

Som vejleder har jeg både din proces og dit produkt for øje – jeg kan både bruges til at holde din undersøgelses- og skriveproces kørende og til faglig inspiration.

Jeg tænker på din undersøgelsesproces som opdelt i ikke-disjunkte faser: brainstorm, problemformulering, disposition og (endelig) tekst, og jeg sætter vejledningsmæssigt forskelligt ind i de forskellige faser.

Jeg vil gerne mødes og snakke med dig så snart du har en rimelig klar ide om, at du vil skrive et matematikhistoriske eller -filosofisk projekt og har tænkt over, hvilken type undersøgelse, du kunne tænke dig at lave.

Hvor og hvornår vejleder jeg?

Vejledning foregår på mit kontor 1520-331 og typisk har jeg i efteråret 2015 sat tid af til at vejlede om torsdagen. Det virker absolut bedst for os begge, hvis vi har aftalt tidspunktet i forvejen, og du bør også fortælle mig, hvad du gerne vil have vejledning omkring – så kan vi begge nå at tænke over det, inden vi mødes. En vejledningssession varer typisk 45 minutter.

Hvor meget vejleder jeg?

Jeg vejleder løbende i din proces, typisk måske hver anden uge. Der må meget gerne ligge et stykke tekst til grund for vejledningssessionen – i brainstorm- og problemformuleringsfaserne typisk løse ideer og udkast, senere tekstuddrag, som du ønsker feedback på.

Hvor meget læser jeg?

Jeg læser ikke hele din tekst før den afleveres – men jeg vil gerne læse et uddrag af din centrale analyse og et stykke af din konkluderende eller perspektiverende tekst. Disse uddrag bør ikke overstige 10 sider, og de skal sendes til mig elektronisk (pdf-format) senest 2 dage før den aftalte vejledningssession.

Hvad med workshops og materialer?

For at støtte op om dit projekt arrangerer jeg hvert semester en række af 4 workshops for de bachelor- og specialestuderende, der skriver projekter med mig som vejleder. Disse workshops er ikke obligatoriske, men jeg anbefaler meget, at du deltager. De indebærer peer-feedback på korte tekster, som deltagerne producerer, og de giver mulighed for at skærpe projektet og argumentationen.

Hvis du søger inspiration til emner eller til processen, er du også meget velkommen til at benytte min blog (www.matematikhistorie.dk) og/eller tilmelde dig Facebook-gruppen ”Matematikhistorie i Aarhus”.

Hvad forventer jeg af dig i forhold til vejledning?

Jeg forventer, at du er (med til) at sætte indhold på vejledningen: Tænk over, hvad du vil spørge om, og hvilke spørgsmål, der er vigtigst at få svar på. Tag noter under og efter vejledningen og tænk også over din egen arbejdsproces.

Jeg vil meget gerne være med til at forme og udvikle dit projekt, men jeg forventer, at du selv er aktivt opsøgende i forhold til litteratur og argumenter.

Posted in Matematikhistorie, Matematikhistorie i gymnasiet, Matematikkens videnskabsteori, Projektforslag

Matematikhistoriske projekter: brainstorm

Når man vælger at skrive et matematikhistorisk projekt, følger der mange andre valg med: Hvad skal det handle om? Hvilket fokus skal der lægges? Hvilken tilgang og metode skal man benytte? For at få hul på disse spørgsmål er en brainstorm en rigtig god ide, og det er noget, jeg som vejleder finder både meget inspirerende og meget vigtigt.

For at få hul på disse spørgsmål kan det være en god ide at starte et lidt andet sted, nemlig med forudsætninger og forventninger: Hvilke kilder kan jeg komme til at benytte? Hvilke sprog kan jeg læse? Hvilke matematiske underdiscipliner vil jeg helst bevæge mig inden for? Hvordan skal de forskellige fagligheder indgå?

Det sidste spørgsmål til fagligheder peger på, at matematikhistoriske projekter typisk er to- eller flerfaglige: Man har matematikfaget (evt. statistikfaget) og historiefaget, som skal mødes – men der kan også indgå andre fagligheder som fx videnskabsteori, bredere videnskabshistorie, didaktik eller måske ens sidefag. Projekter, der tager udgangspunkt i den studerendes undren og måske i en oplevelse af mødet mellem faglighederne kan efter afgrænsning blive rigtig interessante og gode.

For at få en første inspiration til matematikhistoriske projekter med flerfaglig inddragelse samler jeg her løbende nogle korte inputs til den egentlige brainstorm. Disse input er bevidst bredt og kort beskrevet, men yderligere ideer og inspiration kan forhåbentlig også findes her på bloggen.

Generelt

  • Matematikhistoriske projekter er i sig selv tit utrolig interessante. Måske har du lært noget i et andet matematik-kursus, og undrer dig over, hvor det kommer fra. Og hvis du så graver i den historiske udvikling er det sjældent, at den er helt så oplagt, lineær og “god”, som man måske skulle tro. Det kan være, at du er interesseret i hvilke problemer fx målteori eller punktmængdetopologi blev opfundet til at løse, eller det kan være, at du har mødt et matematisk emne som elliptiske funktioner eller deskriptiv geometri, som engang var meget vigtige, men i dag ikke er med i det almindelige pensum. Hvor og i hvilken kontekst blev sådanne matematiske emner dyrket, af hvem og hvorfor er udmærkede startspørgsmål til et matematikhistorisk projekt. Undervejs kan man så få brug for at knytte matematikhistoriske, videnskabsteoretiske eller måske institutionshistoriske vinkler på for at svare på spørgsmålene – det kan være, at Lakatos eller Kitcher faktisk er givtige, eller det kan være at forklaringer skal søges i eksterne forhold som uddannelsessystemer eller emigration.
  • Hvis du har interesse for matematikundervisning kan det også være en kilde til gode projekter at undersøge hvordan matematikhistorie kan bruges til undervisning, fx på STX, i AT-forløb, i SRP eller i andre sammenhænge. Det er sjældent muligt at udvikle færdigt undervisningsmateriale, men man kan forestille sig at observere undervisning (eller andre produkter), bearbejde kilder til brug i undervisning, eller måske studere en tidligere undervisningspraksis. Det er vigtigt, at man så holder sig de didaktiske vinkler for øje – det kan være, at man skal inddrage noget teoretisk baggrundslitteratur om forløbtilrettelæggelse, om læringsteori, eller om skolehistorie.
  • En måde at indkredse et projekt på kan også være at vælge en dansk (eller skandinavisk) vinkel på et fænomen og for eksempel undersøge specifikke nedslag i matematikkens forhold og udøvelse ved danske institutioner som Københavns Universitet, Videnskabernes Selskab eller Aarhus Universitet. Det kan handle om prisopgaver, lærebøger, konferencer, undervisning, forskning og meget mere, og selvom en forbindelse til historie-faget er oplagt, er det videnskabs- og idehistorie ikke nødvendigvis centrale i historieuddannelsen.

Fysik

  • Forbindelserne mellem matematik og fysik (og astronomi) er historisk mange, og der er mange ting, man kunne vælge at undersøge. For eksempel kunne man være interesseret i at spore tilfælde, hvor nye fysiske indsigter og ny matematik er opstået i samspil – Fouriers varmelære kunne være et eksempel. Eller man kunne være interesseret i at undersøge en matematisk modellerings udvikling i fysik, kemi eller biologi. Eksemplerne er legio og kan findes i mange perioder og mange kontekster.

Historie

  • Matematikhistorie er selvfølgelig historie-fagligt i sig selv, men fordi matematik ofte er blevet dyrket af individder i en vis grad af isolation og for sin egen skyld, kan det være svært at integrere med egentlig politisk eller økonomisk historie. Men mulighederne er der – man kan undersøge matematiske argumenters indtog i forskellige politiske, juridiske eller demografiske kontekster, ligefra forholdstalsvalg over blodprøver i faderskabssager til modelling af befolkningspotentialer. Eller man kan bruge sin historiefaglighed til at lave et kildekritisk eller historiografisk projekt, der fx sætter fokus på matematikhistoriske fortolkningers begrundelser omkring geometrisk algebra, omkring det såkaldte “textual turn” eller omkring internalisme-eksternalisme-diskussionerne.

Sprogfag

  • Kendskab til fremmedsprog åbner selvfølgelig en masse muligheder for matematikhistoriske projekter, hvis man fx kan læse originalkilder på fransk eller tysk (eller latin eller arabisk). Den engelsksprogede hegemoni er nemlig i matematikken som i andre sammenhænge et nyt fænomen, og fx er hovedparten af den vigtige nye matematik i 1800-tallet forfattet på enten tysk eller fransk, og tidligere var det typiske sprog latin. Og selvom noget er oversat, så er det stadig en stor fordel at kunne konsultere originalerne.
  • Hvis man så yderligere har fx et litteraturhistorisk perspektiv kan man også undersøge nogle af de situationer, hvor matematik og den litterære kultur er mødtes – i Alice i Eventyrland eller i Flatland – eller i nyere populærkultur. Eller hvis man har sprogteoretisk sigte kan man undersøge matematiske tekster for deres semiotiske eller argumentatoriske opbygning eller undersøge nogle af bestræbelserne på at gøre matematik til et universelt sprog. Og endelig er der jo i sprogfagene også en stor kulturel og historisk dimension sådan at man fx kunne undersøge matematikkens udbredelse i et givet område – Islamisk matematik, den vestlige matematiks ankomst til Japan eller Jesuitternes brug af matematik til missionsformål.

Oldtidskundskab

  • I den græske antik var matematik og filosofi som bekendt nært forbundne, og det kunne være et interessant projekt at undersøge fx Platons brug af matematik til sine filosofiske argumenter – Menon er velkendt, men også i Timaios, Theaitetos og Parmenides indgår der matematiske argumenter. Derved kunne man også komme til at karakterisere den græske matematik og måske undersøge nogle af de matematikere, der ikke er helt så berømte som Euklid – Heron, Archimedes, Diofant, Apollonius – eller nogle af de klassiske kommentatorer til Euklid som fx Proklos og sætte dem i kontekst.

Filosofi

  • Der er rigtig mange muligheder for at undersøge filosofiske dimensioner ved matematikken i et historisk lys: Man kan undersøge bevisbegrebets udvikling fx ved Firefarvesætningen, konkrete filosofiske refleksioner over matematik hos fx Wittgenstein, Kant eller Hume, eller man kan gå ind i nogle af de nyere matematikfilosofiske diskussioner om fx matematikkens status som a priori viden eller aksiomernes begrundelser. Eller man kan vælge et stykke af den matematiske praksis ud til filosofisk undersøgelse: tillid, peer-review, problemvalg, metaforer, etc.

Religionsvidenskab

  • Der er selvfølgelig her som i andre situationer muligheden af at lave et biografisk fokus: Matematikere har igennem tiderne foruden at arbejde med matematik også være tænkende og troende mennesker, og nogle gange har det faktisk haft en forbindelse: Cantor skrev til Paven for at fortælle om sine opdagelser omkring uendelighedsbegrebet og Pearsons statisktiske arbejder kan næppe forståes uden for deres kulturelle og kognitive kontekst, herunder religiøse spørgsmål. Der er også muligheden for at bruge nogle af de analytiske kompetencer (antropologi, myter) etc. til at undersøge en matematisk praksis, heltedyrkelsen af en matematiker, eller geniets rolle og status i en given, afgrænset kontekst.

Datalogi

  • Datalogi er jo i sig selv udsprunget (blandt andet) af matematik, så datalogihistorie kan godt gøres til matematikhistorie. Man kan vælge mange tematikker ud fra informationsteori, kryptering, computerudvikling, kodebrydning, kunstig intelligens, numerisk matematik og meget andet.
Posted in Matematikhistorie, Matematikkens videnskabsteori

Hvad er et navn?

Hvad er matematik? Og hvad vil det sige at være matematiker? Hvad betyder de ord overhovedet? Og hvad ligger der i et navn?

I et af litteraturens mest berømte billeder har Shakespeare sagt det i Romeo og Julie:

Hvad er et navn? Det vi kalder rose,
vil dufte lige sødt hvad end det kaldes;
og Romeo ville, var han uden navn,
beholde den fuld-kommenhed, han ejer.

Sat på spidsen i filosofiske termer skulle argumentet, at et navn intet betyder i forhold til begrebets indhold. Man når man vil forsøge historisk at indkredse essensen af begreber som ‘videnskab’ eller ‘matematik’, støder man på nogle historiografiske problemer, der måske ved første øjekast ligner rene sofisterier, men som faktisk rummer en række vigtige indsigter, også om de begreber, vi søger at forstå. Og i den forbindelse kan betegnelser faktisk være vigtige at reflektere over.

Hvis vi accepterer — hvilket vi bør — at ‘videnskab’ og ‘matematik’ er aktiviteter med en historie, der ikke kun er begrænset af, hvad vi nu forstår ved ordene, så kan vi komme tættere på at forstå de processer og forløb, der har givet os de moderne versioner af disse fag og aktiviteter. Hvis vi ønsker at forstå matematikkens historie og dens filosofiske særegenheder, er det oplagt at indtænke antikkens store bidrag fra Pythagoras, Euklid, Archimedes og så videre. Men ingen af disse kunne i samtiden beskrive deres fag som ‘matematik’; i stedet ville man i antikken betegne indholdet af deres værker som ‘geometri’, som stammer fra ‘land-opmåling’, eller aritmetik, der handler om teoretiske (i modsætning til praktiske) erkendelser om tal.

Det er ikke på forhånd oplagt, at disse begreber giver mening på tværs af forskellige epoker og kulturer—og det er slet ikke sikkert, at den mening, de måtte give, er forbundet med vores nuværende sprogbrug og da endnu mindre, at meningen er konstant.

Både ‘videnskab’ og ‘matematik’ er institutioner og fag, som har undergået en lang historisk udvikling og først for relativt nyligt er blevet udmøntet i de sociale og disciplinære afgrænsninger, vi kender i dag, og hvori begreber som ‘universiteter’, ‘forskning’ og ‘professorer’ spiller en ganske afgørende rolle. I videnskabshistorien er det en vigtig indsigt, at selve begrebet ‘scientist’ er en forholdsvis ny tilføjelse med en klar fødselsdato hos William Whewell i 1834 (se The Renaissance Mathematicus, 2014).

Men disse begreber har selv en udviklingshistorie—de første universiteter blev grundlagt i det 11. århundrede, professorenes rolle (og universiteternes) har stadigt udviklet sig, og forskningens rolle som en integreret og definerende del af professornes arbejde er en norm, der højst er 200 gammel.

Selv hvis vi vælger fx at afgrænse matematik som ‘det, som matematikere laver’, så indser man hurtigt, at dette tilsyneladende sociologiske kunstgreb blot har flyttet problemet til at afgrænse, hvem der tæller med som ‘matematikere’. Og den term er faktisk også ganske ny, så vi er angiveligt ikke nået ret meget længere.

Som allerede nævnt er det mere passende at tale om de græske ‘geometere’, og denne betegnelse bliver faktisk i brug helt op i 1800-tallet, hvor fx norske Niels Henrik Abel betegner sig selv og refereres til af andre som “géométre Norvegiene”. Og her er betegnelsen endnu mere bemærkelsesværdig fra et moderne perspektiv, idet Abel ydede store bidrag til det, vi i dag betragter som analysens og algebraens udvikling, men aldrig arbejdede med geometri.

På den anden side findes der faktisk også eksempler på, at termen ‘matematiker’ er blevet anvendt, fx i den tidligt moderne periode, hvor adskillige fyrster havde en ‘hofmatematiker’ (Hofmathematicus) ansat. Således var det fx Johannes Keplers officielle tilknytning til hoffet omkring Rudolf II i Prag, og under mere hjemlige strøg var Adam Olearius og Johannes Meyer også hofmatematikere ved Frederik III og Christian IV. Med til disse hofmatematikeres pligter var så forskelligartede opgaver som at vedligeholde fyrstens bibliotek, forestå opmåling og kortlægning, foretage diplomatiske ekspeditioner, og lægge horoskoper for ledende medlemmer af hoffet. Derimod var egentlig selvstændig forskning — overhovedet og da slet ikke i matematik — ikke noget krav, selvom nogle hofmatematikere ydede vigtige astronomiske bidrag.

Med disse to eksempler på at spore fagets historie gennem dets udøvere har vi således set, at man både kan indfange for lidt og for meget ved at fokusere unuanceret på en professions betegnelse. Hvis vi sporer matematikere tilbage til hofmatematikerne i 1600-tallet får vi aktiviteter og begrundelser med, som er fremmede for den moderne matematiker. Hvis vi i stedet definerer matematikerens forfader som 1800-tallets ‘geometer’ skylder vi at sige noget om, at dette begreb på et tidspunkt i en periode omkring 1900 blev uddifferentieret til at betegne en geometer i modsætning til analysefolk og algebraikere etc.

Egentlig er disse pointer jo ret oplagte, for vi ved godt, at begrebers mening kan udvikles over tid, og at ord kan ændre deres betydning efter deres brug og imellem forskellige sprog. Alligevel er det vigtigt at holde sig for øje, at når vi ønsker at spore forhistorier og for eksempel fortælle ‘matematikkens historie’, så indgår der en række mere eller mindre eksplicitte valg af, hvad og hvem der tæller med som matematik og matematikere. Skal hofkulturernes astrologer tælles med? Skal babylonske eller kinesiske løsningprocedurer uden egentlige beviser (i den græske forstand) tælles med? Og hvad med alle de andre kulturelle manifestationer af matematik, matematisk viden eller matematiske aktiviteter, som vi kan komme på? Er Ishango-benet et matematisk artefakt? Er kurvefletning i Afrika en matematisk aktivitet? Og er Spinozas aksiomatisk opbyggede etik et eksempel på matematisk tænkning?

Min tilgang til dette problemkompleks er at starte et lidt andet sted og postulere (matematik-) historiens rolle som en fortolkende videnskab: Vi er som individuelle matematikhistorikere ikke interesseret i alle slags fortidige hændelser, selvom disciplinen er bred nok til at omfatte mange positioner og interesser. I stedet er jeg personligt interesseret i at forstå nogle bestemte udviklinger i og af matematikken, og til det skal jeg bruge analyser af de fortidige hændelser og kilder, som har en forbindelse til mine interesser. Men når spørgsmålene ændrer sig, kan det godt være, at jeg skal bruge helt andre kilder, eller at kendte kilder skal bruges anderledes. Når jeg ønsker at betragte matematikkens udvikling som en særegen vidensform, så er det græske bevisbegreb naturligvis vigtigt, ligesom rationalisternes ophøjning af matematikken som sikker viden. Men lige så vigtigt kan det være at vise, at man har kunnet have ‘matematisk’ viden i fx Mesopotamien uden at have egentlige beviser. Eller at vise, hvordan udgangen på grundlagskrisen i 1920’erne viste, at selv ikke matematikken (som vi kender den) kan bygges op med absolut sikkerhed fra et absolut sikkert grundlag. Det underliggende omdrejningspunkt er faktisk, at indholdet af ‘matematik’ blandt andet omfatter et kontinuum fra aksiomatisk teoribygning til praktisk problemløsning, og at disse forskellige kulturers ‘matematik’ har placeret sig forskelligt på dette spektrum.

Når jeg således postulerer en forbindelse mellem os selv — moderne matematikere — og historiske aktører som Fermat, Newton, Gauss eller endda Poincaré, så er det jo ikke fordi jeg (umiddelbart) kan identificere med deres sociale situation eller se deres matematiske aktivitet som min egen. Eller endda som den samme: Nogle af dem var universitets-ansatte, andre ikke; nogle af dem brugte store dele af deres karrierer inden for fysik og astronomi, andre mindre. Og de var jo på ingen måde ‘den almindelige’ matematikere fra et nutidigt perspektiv: Alle var de super-kreative og banebrydende tænkere, som opfattede matematik som en aktivitet forbundet med filosofisk (og nogle gange religiøs) motivation og deres egne bidrag som en del af deres identitet. Så når jeg ser tilbage på sådan en stjerneparade og ser en forbindelse, så ligger den i selve faget: Vi dyrker det samme fag, matematik, som godt nok har udviklet sig over tid, men har beholdt en kontinuitet, som gør aktivitetet genkendelig.

Og vi kan så pege på steder, hvor kontinuiteten blev udtalt og udfordret: I starten af 1800-tallet søgte Martin Ohm — bror til fysikeren — en stilling som matematikprofessor i Berlin med den begrundelse at han havde skrevet adskillige lærebøger. Han fik ikke stillingen. Men det besynderlige for os er jo nærmere, at han overhovedet kunne tro, han var kvalificeret: Han havde ingen egentlig forskning bag sig, men det blev åbenbart først et krav omkring 1800 at professorer skulle være forskere. Vi ved også, at Edmond Halley stort set måtte trække Newtons berømte Principia ud af ham for at få det trykt, og Gauss havde dybe skuffer, hvori han gemte matematiske opdagelser, som samtiden ikke var beredt for. Disse store matematikere havde altså andre formål end publicering i øje, når de gennemtrængte matematiske problemer, hvilket vi heller ikke ville forvente ud fra moderne dogmer som ‘publish-or-perish’ eller endog ‘fra forskning til faktura’.

Dermed bliver matematikhistorie til en syntetisk aktivitet, der søger at skabe sammenhængende narrativer om udviklinger i matematisk praksis forstået meget bredt. Disse synteser har værdi i sig selv som matematikhistorie, for matematikere som fortællinger om deres fags historie og for filosofiske analyser af matematik som grundlag for at pege på nødvendigheder og kontingente omstændigheder ved matematisk praksis og viden.

Og når vi således sammen med vores helte kan siges at være ‘matematikere’, så er det en potent brug af et begreb med en historie og en række konnotationer, som vi kan og bør undersøge i deres historiske og videnskabsteoretiske kontekster.