Posted in Matematik i Danmark, Matematikhistorie

Matematik under nazismen: universalitet under pres

Ny artikel i Weekendavisen: I 1930rne forsøgte nazisterne at indordne den matematiske videnskab under den raceteoretiske ideologi. De skelnede mellem jordbundne, intuitive, ariske matematikere og så de abstrakt teoretiske, jødiske matematikere. Harald Bohr svarede igen.

  • Henrik Kragh Sørensen. “Matematik under nazismen”. Weekendavisen, nr. 34 (22. august 2014): Ideer, pp. 12–13.

Continue reading “Matematik under nazismen: universalitet under pres”

Posted in Matematik i Danmark

Matematisk Institut, Aarhus Universitet i 60 år

I dag, den 20. august 2014, kan Matematisk Institut ved Aarhus fejre sit 60-års jubilæum. Med virkning fra august 1953 blev Svend Bundgaard ansat som den første professor i matematik og første dekan for det nyoprettede Naturvidenskabelige Fakultet ved Aarhus Universitet. Med sig fra København havde han store visioner for, hvordan Aarhus kunne komme til at markere sig både nationalt og internationalt på den matematiske scene. Og mange af disse ideer er siden blevet fulgt op på – og nogle af dem decideret bygget ind i murene på det Matematisk Institut, der i dag har til huse på Ny Munkegade, hvor der i 1950’erne stadig var kasserne.

Svend Bundgaard

Man kan læse mere om Bundgaard og om oprettelsen af det matematiske institut i fx:

  • Nielsen, H. (2004). Disse fag må lempes til verden. . . : Oprettelsen og udbygningen af Det
    Naturvidenskabelige Fakultet ved Aarhus Universitet. Den første periode. Et festskrift i
    anledning af 50-års jubilæet 2004. Aarhus: Aarhus Universitetsforlag.
  • Sørensen, H. K. (jun. 2012). “Svend Bundgaard og Matematikken i Danmark, 1912–
    1984”. Upubliceret manuskript baseret på foredrag ved Dansk Matematisk Forenings
    generalforsamling, København, 18. juni 2012.
  • AU Universitetshistorie har også fine online-udstillinger: http://www.au.dk/uhu/velkommen/
Posted in Matematikhistorie, Matematikkens videnskabsteori

Hvad er et navn?

Hvad er matematik? Og hvad vil det sige at være matematiker? Hvad betyder de ord overhovedet? Og hvad ligger der i et navn?

I et af litteraturens mest berømte billeder har Shakespeare sagt det i Romeo og Julie:

Hvad er et navn? Det vi kalder rose,
vil dufte lige sødt hvad end det kaldes;
og Romeo ville, var han uden navn,
beholde den fuld-kommenhed, han ejer.

Sat på spidsen i filosofiske termer skulle argumentet, at et navn intet betyder i forhold til begrebets indhold. Man når man vil forsøge historisk at indkredse essensen af begreber som ‘videnskab’ eller ‘matematik’, støder man på nogle historiografiske problemer, der måske ved første øjekast ligner rene sofisterier, men som faktisk rummer en række vigtige indsigter, også om de begreber, vi søger at forstå. Og i den forbindelse kan betegnelser faktisk være vigtige at reflektere over.

Hvis vi accepterer — hvilket vi bør — at ‘videnskab’ og ‘matematik’ er aktiviteter med en historie, der ikke kun er begrænset af, hvad vi nu forstår ved ordene, så kan vi komme tættere på at forstå de processer og forløb, der har givet os de moderne versioner af disse fag og aktiviteter. Hvis vi ønsker at forstå matematikkens historie og dens filosofiske særegenheder, er det oplagt at indtænke antikkens store bidrag fra Pythagoras, Euklid, Archimedes og så videre. Men ingen af disse kunne i samtiden beskrive deres fag som ‘matematik’; i stedet ville man i antikken betegne indholdet af deres værker som ‘geometri’, som stammer fra ‘land-opmåling’, eller aritmetik, der handler om teoretiske (i modsætning til praktiske) erkendelser om tal.

Det er ikke på forhånd oplagt, at disse begreber giver mening på tværs af forskellige epoker og kulturer—og det er slet ikke sikkert, at den mening, de måtte give, er forbundet med vores nuværende sprogbrug og da endnu mindre, at meningen er konstant.

Både ‘videnskab’ og ‘matematik’ er institutioner og fag, som har undergået en lang historisk udvikling og først for relativt nyligt er blevet udmøntet i de sociale og disciplinære afgrænsninger, vi kender i dag, og hvori begreber som ‘universiteter’, ‘forskning’ og ‘professorer’ spiller en ganske afgørende rolle. I videnskabshistorien er det en vigtig indsigt, at selve begrebet ‘scientist’ er en forholdsvis ny tilføjelse med en klar fødselsdato hos William Whewell i 1834 (se The Renaissance Mathematicus, 2014).

Men disse begreber har selv en udviklingshistorie—de første universiteter blev grundlagt i det 11. århundrede, professorenes rolle (og universiteternes) har stadigt udviklet sig, og forskningens rolle som en integreret og definerende del af professornes arbejde er en norm, der højst er 200 gammel.

Selv hvis vi vælger fx at afgrænse matematik som ‘det, som matematikere laver’, så indser man hurtigt, at dette tilsyneladende sociologiske kunstgreb blot har flyttet problemet til at afgrænse, hvem der tæller med som ‘matematikere’. Og den term er faktisk også ganske ny, så vi er angiveligt ikke nået ret meget længere.

Som allerede nævnt er det mere passende at tale om de græske ‘geometere’, og denne betegnelse bliver faktisk i brug helt op i 1800-tallet, hvor fx norske Niels Henrik Abel betegner sig selv og refereres til af andre som “géométre Norvegiene”. Og her er betegnelsen endnu mere bemærkelsesværdig fra et moderne perspektiv, idet Abel ydede store bidrag til det, vi i dag betragter som analysens og algebraens udvikling, men aldrig arbejdede med geometri.

På den anden side findes der faktisk også eksempler på, at termen ‘matematiker’ er blevet anvendt, fx i den tidligt moderne periode, hvor adskillige fyrster havde en ‘hofmatematiker’ (Hofmathematicus) ansat. Således var det fx Johannes Keplers officielle tilknytning til hoffet omkring Rudolf II i Prag, og under mere hjemlige strøg var Adam Olearius og Johannes Meyer også hofmatematikere ved Frederik III og Christian IV. Med til disse hofmatematikeres pligter var så forskelligartede opgaver som at vedligeholde fyrstens bibliotek, forestå opmåling og kortlægning, foretage diplomatiske ekspeditioner, og lægge horoskoper for ledende medlemmer af hoffet. Derimod var egentlig selvstændig forskning — overhovedet og da slet ikke i matematik — ikke noget krav, selvom nogle hofmatematikere ydede vigtige astronomiske bidrag.

Med disse to eksempler på at spore fagets historie gennem dets udøvere har vi således set, at man både kan indfange for lidt og for meget ved at fokusere unuanceret på en professions betegnelse. Hvis vi sporer matematikere tilbage til hofmatematikerne i 1600-tallet får vi aktiviteter og begrundelser med, som er fremmede for den moderne matematiker. Hvis vi i stedet definerer matematikerens forfader som 1800-tallets ‘geometer’ skylder vi at sige noget om, at dette begreb på et tidspunkt i en periode omkring 1900 blev uddifferentieret til at betegne en geometer i modsætning til analysefolk og algebraikere etc.

Egentlig er disse pointer jo ret oplagte, for vi ved godt, at begrebers mening kan udvikles over tid, og at ord kan ændre deres betydning efter deres brug og imellem forskellige sprog. Alligevel er det vigtigt at holde sig for øje, at når vi ønsker at spore forhistorier og for eksempel fortælle ‘matematikkens historie’, så indgår der en række mere eller mindre eksplicitte valg af, hvad og hvem der tæller med som matematik og matematikere. Skal hofkulturernes astrologer tælles med? Skal babylonske eller kinesiske løsningprocedurer uden egentlige beviser (i den græske forstand) tælles med? Og hvad med alle de andre kulturelle manifestationer af matematik, matematisk viden eller matematiske aktiviteter, som vi kan komme på? Er Ishango-benet et matematisk artefakt? Er kurvefletning i Afrika en matematisk aktivitet? Og er Spinozas aksiomatisk opbyggede etik et eksempel på matematisk tænkning?

Min tilgang til dette problemkompleks er at starte et lidt andet sted og postulere (matematik-) historiens rolle som en fortolkende videnskab: Vi er som individuelle matematikhistorikere ikke interesseret i alle slags fortidige hændelser, selvom disciplinen er bred nok til at omfatte mange positioner og interesser. I stedet er jeg personligt interesseret i at forstå nogle bestemte udviklinger i og af matematikken, og til det skal jeg bruge analyser af de fortidige hændelser og kilder, som har en forbindelse til mine interesser. Men når spørgsmålene ændrer sig, kan det godt være, at jeg skal bruge helt andre kilder, eller at kendte kilder skal bruges anderledes. Når jeg ønsker at betragte matematikkens udvikling som en særegen vidensform, så er det græske bevisbegreb naturligvis vigtigt, ligesom rationalisternes ophøjning af matematikken som sikker viden. Men lige så vigtigt kan det være at vise, at man har kunnet have ‘matematisk’ viden i fx Mesopotamien uden at have egentlige beviser. Eller at vise, hvordan udgangen på grundlagskrisen i 1920’erne viste, at selv ikke matematikken (som vi kender den) kan bygges op med absolut sikkerhed fra et absolut sikkert grundlag. Det underliggende omdrejningspunkt er faktisk, at indholdet af ‘matematik’ blandt andet omfatter et kontinuum fra aksiomatisk teoribygning til praktisk problemløsning, og at disse forskellige kulturers ‘matematik’ har placeret sig forskelligt på dette spektrum.

Når jeg således postulerer en forbindelse mellem os selv — moderne matematikere — og historiske aktører som Fermat, Newton, Gauss eller endda Poincaré, så er det jo ikke fordi jeg (umiddelbart) kan identificere med deres sociale situation eller se deres matematiske aktivitet som min egen. Eller endda som den samme: Nogle af dem var universitets-ansatte, andre ikke; nogle af dem brugte store dele af deres karrierer inden for fysik og astronomi, andre mindre. Og de var jo på ingen måde ‘den almindelige’ matematikere fra et nutidigt perspektiv: Alle var de super-kreative og banebrydende tænkere, som opfattede matematik som en aktivitet forbundet med filosofisk (og nogle gange religiøs) motivation og deres egne bidrag som en del af deres identitet. Så når jeg ser tilbage på sådan en stjerneparade og ser en forbindelse, så ligger den i selve faget: Vi dyrker det samme fag, matematik, som godt nok har udviklet sig over tid, men har beholdt en kontinuitet, som gør aktivitetet genkendelig.

Og vi kan så pege på steder, hvor kontinuiteten blev udtalt og udfordret: I starten af 1800-tallet søgte Martin Ohm — bror til fysikeren — en stilling som matematikprofessor i Berlin med den begrundelse at han havde skrevet adskillige lærebøger. Han fik ikke stillingen. Men det besynderlige for os er jo nærmere, at han overhovedet kunne tro, han var kvalificeret: Han havde ingen egentlig forskning bag sig, men det blev åbenbart først et krav omkring 1800 at professorer skulle være forskere. Vi ved også, at Edmond Halley stort set måtte trække Newtons berømte Principia ud af ham for at få det trykt, og Gauss havde dybe skuffer, hvori han gemte matematiske opdagelser, som samtiden ikke var beredt for. Disse store matematikere havde altså andre formål end publicering i øje, når de gennemtrængte matematiske problemer, hvilket vi heller ikke ville forvente ud fra moderne dogmer som ‘publish-or-perish’ eller endog ‘fra forskning til faktura’.

Dermed bliver matematikhistorie til en syntetisk aktivitet, der søger at skabe sammenhængende narrativer om udviklinger i matematisk praksis forstået meget bredt. Disse synteser har værdi i sig selv som matematikhistorie, for matematikere som fortællinger om deres fags historie og for filosofiske analyser af matematik som grundlag for at pege på nødvendigheder og kontingente omstændigheder ved matematisk praksis og viden.

Og når vi således sammen med vores helte kan siges at være ‘matematikere’, så er det en potent brug af et begreb med en historie og en række konnotationer, som vi kan og bør undersøge i deres historiske og videnskabsteoretiske kontekster.

Posted in Matematikken i Antikken, Mathematics and Culture

Romersk regning: Hvordan man kan klare sig uden et nul

Vi kender romertallene, M, L, D osv. Men der er ingen tegn for 0 (nul). Kendte romerne ikke denne enhed? Og hvordan regnede de egentlig? Hvad er f.eks. MCM x DL? Det kunne jeg godt tænke mig at vide. (Spørgsmål til Newton i Jyllands-Posten, 30. marts 2014)

Continue reading “Romersk regning: Hvordan man kan klare sig uden et nul”

Posted in Matematikhistorie i gymnasiet, Matematikken i Antikken, Mathematics and Culture

Antik matematik i gymnasiet

Antikkens matematik er et glimrende emne til matematikhistorisk undervisning, idet det både kan tjene til at vise eleverne centrale dele af matematikkens arkitektur (den aksiomatisk-deduktive opbygning), forbindelserne til filosofi og oldtidskundskab, og diskussioner om forholdet mellem teoretisk og praktisk viden i en fjern kultur. Nogle af disse emner er eksemplarisk dækket i fx

  • Glunk, C. m.fl. (2006). Q. E. D. Platon og Euklid tegner og fortæller. København: Gyldendal.

Et centralt værk er selvfølgelig Euklids Elementer, hvoraf uddrag er nyoversat i QED (se ovenfor). Men Thyra Eibes klassiske oversættelse er stadig værd at konsultere.

  • Euklid (1897–1912). Euklids Elementer. Oversat af T. Eibe. 6 bd. København: Nordisk Forlag.

For nylig har nogle af folkene bag QED også nyoversat og kommenteret værker af Archimedes til brug for gymnasiet.

Forbindelsen til filosofi vil typisk skulle involvere Platons dialoger, fx Menon (som er oversat i QED), Timaios eller Theaitetos.

Jeg har også beskæftiget mig med relaterede emner her på bloggen, fx i diskussionen om Platons matematiske kosmologi eller om græske forhold. Og sammen med Kristian Danielsen arbejder jeg på et nyt materiale om Herons matematik.

Posted in Matematikhistorie i gymnasiet

Matematikhistorie i gymnasiet

Her vil jeg samle og kommentere forskellige tiltag, ideer og materialer på dansk til brug for matematikhistorisk undervisning i gymnasiet. Der vil være tale om et subjektivt udvalg, men hvis du har forslag til materialer, som ikke er på listen, så send mig gerne en besked.

  • Antik matematik i gymnasiet
  • Matematisk modellering [kommer] (logistisk vækst, $\chi^2$-test, m.fl.)
  • Idehistoriske emner [kommer] (ligningsløsning, funktionsbegreb, differentialregning, m.fl.)
  • Kulturhistoriske emner [kommer] (islamisk matematik, matematik og 2. verdenskrig, m.fl.)

Matematikhistorie er en obligatorisk og integreret del af matematikundervisningen på STX A/B/C-niveau. Man kan læse de overordnede formuleringer om formål og indhold i Bekendtgørelsen.

Posted in Logistisk Vækst

Logistisk vækst: fortællende og autentisk matematikhistorie i gymnasiet

Igennem et par år har jeg sammen med Kristian Danielsen arbejdet på et materiale til brug for undervisning i logistisk vækst på STX baseret på en “fortællende og autentisk” tilgang til matematikhistorie. Det har udmøntet sig i en lille bog (Matematisk Bogsalg 2014) med materiale til at undervise i logistisk vækst baseret på Verhulsts oprindelige artikel fra 1838. På denne hjemmeside vil vi lægge yderligere links og materiale ud til brug for underviserne.

Continue reading “Logistisk vækst: fortællende og autentisk matematikhistorie i gymnasiet”

Posted in Matematikhistorie

Nullets historie (3/3)

Nogle filosofiske refleksioner om nullets natur

For de græske matematikere var tal ”størrelser sammensat af enheder”, og hverken 0 eller 1 kom altså i betragtning som tal. Oversat kan man se dette som intuitivt, da ingen objekter ikke er et antal objekter, ligesom 1 objekt heller ikke (bogstaveligt) er et antal objekter da forskellen mellem objektet og samlingen af objektet først blev ekspliciteret i 1800-tallet (Frege etc.). Men når vi alligevel insisterer på, at 0 og 1 er tal, så er det altså fordi vi opfatter dem som størrelser af henholdsvis den tomme mængde og en singleton: De kommer altså til at svare til begreberne ”ingen” og ”den”. Og det giver god mening, især fordi vi gerne vil have et godt matematisk system, hvor vi fx kan regne med negative tal.

Et meget interessant filosofisk tilfælde er tænkeren Gregor Reisch, hvis bog udgjorde grundlaget for forelæsninger ved universiteternes filosofiske fakulteter omkring 1500. Reisch beskrev blandt andet i sin definition, hvordan ”enheden er intet tal, men tallets oprindelse” (Reisch’s Margarita philosophica 1504). Ramus beskrev i 1569 dette således: ”Et tal er det, hvormed en hvilken som helst ting tælles”, og fordi han betragtede ”tælling” som omfattende alle aritmetikkens fire operationer, blev hans talbegreb mere udvidet. Senere formulerede Stevin det sin version af definitionen: ”et tal er det, hvorigennem enhver genstands kvantitet kommer til udtryk” (1585), og herved er 1 blevet et tal, mens 0 nærmere bliver tallenes begyndelse, deres princip.

Negative tal er en anden besynderlig konstruktion i matematikkens historie, og det tog lang tid, før de blev accepterede som tal og givet en forståelse, der rækker ud over at de passer i regninger. En tidlig fortolkning af negative tal (og ikke bare ”trække-fra-tal”) som gæld er senere blevet gjort præcisere ved at opfatte dem som additivt inverse til positive tal, altså $a+(-a)=0$, og dermed opfatte dem som at gå ”den anden vej” ud af tallinjen (fx Wallis’ (1616-1703) fysiske fortolkning: ”At gå -3 skridt fremad er det samme som at gå tre skridt baglæns”).  Selvom denne forståelse er (og var) intuitiv, tog det lang tid før den blev anerkendt som begrundelse for de negative tal (og nul) – indtil da blev negative løsninger til ligninger fx kaldet ”falske” eller ”fiktive” løsninger (Cardano 1545, Descartes 1637). Og en del af baggrunden for dette er, at de optræder algebraisk men ikke svarer til geometriske størrelser i de problemer, som den algebraiske repræsentation stammer fra. Og selv Immanuel Kant (1724-1804) behandlede problemet i afhandlingen Versuch den Begriff der negativen Grössen in die Weltweisheit einzuführen fra 1763; der beskrev han, hvordan ”de negative størrelser er ikke negationer af størrelser, som ligheden i udtrykkene kunne lade formode, men noget som i sig selv er sandt positivt, og som blot er modstillet noget andet”. Mere præcist: ”Det er modstillet hinanden, hvoraf det ene ophæver det, som er sat af det andet”. Og nullet blev i denne anledning til den balance, som modstillingen spænder omkring.

Tilsvarende skelnede man fx mellem fuldstændige og ufuldstændige ligninger (afhængig af om alle polynomielle led var medtaget eller ej). Og så længe man ikke accepterede nul som en koefficient, var der mange forskellige typer ligninger, som alle måtte beskrives individuelt, fx 6 kvadratiske ligninger hos al-Khwarizmi, fx ”kvadrat og tal er lig rødder”: ”et kvadrat og 21 i tal er lig med 10 rødder af det samme kvadrat”. Hver af disse typer ligning måtte – i hvert fald i princippet – have sin egen løsnings procedure, og dette blev for alvor omfattende, da Omar Khayyam og andre senere forsøgte at tage skridtet videre til at betragte kubiske ligninger.

Der findes imidlertid også andre positionstalsystemer end hindutallene – et af dem, der hele tiden omgiver os er det binære talsystem, som er et 2-tals-positionssystem. Blandt de allerførste til at studere de binære tal var matematikeren og filosoffen Leibniz, som ud over deres rent matematiske egenskaber også var interesseret i dem af teologiske grunde. For i de binære tal så han en forklaring på Guds skaberværk: Ud af intet (0) og det guddommelige (1) kunne alle tallene skabes. Dette argument udviklede han i korrespondance med en jesuittermunk ved navn Bouvet.

Problemet med nullets natur som angivelse af størrelse bliver blot endnu tydeligere, hvis vi overvejer dets potentiale som ordenstal. Vi taler nemt om første gang, anden gang, tredje gang; eller om 1. klasse, 2. klasse, etc. Men at tale – som vi jo nu også gør – om 0. klasse i skolen er ret beset at gøre vold på et begreb; eller rettere: der ligger en dybere matematisk mening bag ved, nemlig at tal-rækken (og i dette tilfælde ordenstals-rækken) besidder en vis systematik (som den ikke nødvendigvis gør i dette tilfælde).

Og foruden at vise sprogets fleksibilitet viser dette eksempel også matematiske strukturer og regularitet er en drivkraft i megen matematisk begrebsdannelse. Hvis vi som moderne matematikere nemlig betragter de hele tal som en struktur, vil vi opfatte 0 som et additivt inverst element, dvs. $a+0=0+a=a$ for alle a. Og om dette kan man endda bevise, at 0 er entydigt: Antag nemlig, at både 0 og 0’ er additivt inverse elementer. Så er (ved at sætte a=0’ i ovenstående definition af 0): $0+0’ = 0$. Men samtidig er $0+0’=0’$, og ved at sammensætte får man konklusionen $0=0’$. For en matematiker er selv den slags oplagte ræsonnementer om ingenting således ikke det rene sofisteri!

Leibniz's medalje, hvor man kan se regning med binære tal.
Leibniz’s medalje, hvor man kan se regning med binære tal.
Posted in Matematikhistorie

Nullets historie (2/3)

Indien: Nuller er svære at regne med

I den indiske kultur – som ligesom den mesopotamiske og den hellenistiske var astronomisk interesseret – finder man i indskrifter fra 600-tallet et symbol for nul som en prik eller en cirkel. Og i nogle af deres matematiske skrifter, fx Brahmagupta (også fra 600-tallet), findes angivelser af, hvordan man opererer med nul, fx:

Summen af nul og noget negativt er negativt, <summen af nul> og noget positivt er positiv, <summen af> to nuller er nul. Noget negativt trukket fra nul bliver positivt […] Produktet af nul og noget negativt eller positivt er nul; <produktet> af to nuller er nul […] Nul divideret med nul er nul […]

Den sidste del af citatet – at 0/0 er 0 er en af de første angivelser af en løsning på en udfordring, som vi stadig har: Nul har nemlig ikke nogen let aritmetik, når det kommer til division. Og Brahmagupta og andre indiske matematikere havde endnu sværere ved at formulere, hvad der sker, når man dividerer med nul. Fx siger Bhaskara i 1100-tallet, at ”en størrelse med divisoren 0 forbliver uændret, hvis man til den føjer eller fra den trækker vilkårligt meget”. Men han siger også, at:

Produktet <af en given størrelse> og nul er nul, men det må bibeholdes som et mangefold af nul, når der følger en anden operation efter. Hvis nul <først> er en multiplikator og derefter en divisor, så forbliver den givne størrelse uændret.

Denne form for en udvidet regning med 0 skulle blive en endnu større udfordring for differentialregningens opfindere (inkl. precalculus) i 1600-tallet, da deres metoder baserer sig på hvad der af kritikere blev beskrevet som en ”nullernes algebra”.

Det er morsomt at vide, at da den berømte norske matematiker Niels Henrik Abel langt senere – i begyndelsen af 1800-tallet – blev undervist af sin herostratisk berømte far i regning, så foregik det ud fra faderens egen hjemmelavede regnebog, hvor den første indgang i additionstabellen (fejlagtigt) er 0+1=0.

De hindu-arabiske tal og deres ankomst i Vesteuropa

Vores moderne talsystem – med dets 10 (eller 9) taltegn og baseret på et 10-tals-positionssystem – kaldes for det ”hindu-arabiske talsystem” fordi det oprindeligt kommer fra Indus-regionen men er formidlet til Vesteuropa gennem den islamiske kulturkreds.

En helt central skikkelse i denne formidling er den persiske matematiker al-Khwarizmi (780-850), som virkede i Bagdad. Al-Khwarizmi er særligt berømt for to værker – dels hans værk om løsning af kvadratiske ligninger, hvorfra begrebet algebra stammer (830), og dels hans bog om ”regning med hindu-tal” fra omkring 825. Da det sidste værk blev oversat til latin blev det kendt som Algoritmi de numero Indorum, hvor transliterationen af al-Khwarizmis navn så siden har givet anledning til begrebet ”algoritme”.

Dette værk præsenterede det indiske talsystem og regning i positionssystemet, og gjorde dette system kendt i den islamiske kulturkreds i det første århundrede efter al-Khwarizmi. Den lærde Gerbert af Aurillac (946-1003, pave 999) – den senere pave Sylvester II – blev blandt andre bekendt med det under sine rejser omkring Middelhavet som ung. Da han senere kom i betragtning som pave var det faktisk ikke en fordel – nærmere en kættersk skygge – at være i stand til at regne med de fremmede ”arabertal”.

De nye arabiske tal dukker første gang op i Europa i et manuskript fra omkring 976 – og i første omgang uden et symbol for 0 eller en egentlig beskrivelse af deres operationer. I stedet kommer Al-Khwarizmi og de hindu-arabiske tal for alvor til Vesteuropa igennem oversættelser foretaget af bl.a. Robert fra Chester i 1120 og Adelard fra Bath (1080-1152), som igennem kulturudvekslingen i Spanien og igennem korstogene kom i forbindelse med islamisk viden. Og igennem rejser i Middelhavsområdet kom også Leonardo fra Pisa (kendt som Fibonacci, 1170-1250) i kontakt med det nye talsystem, som han beskrev i sin Liber abaci fra 1202. Deri viste han også det nye talsystems anvendelighed i bogholderi og til løsning af matematiske problemer. Og selvom tegnene har udviklet sig noget i forskellige håndskrifter, standardiseredes de i perioden op til bogtrykkekunstens opfindelse. Leonardo skriver forbilledligt:

De ni indiske tegn er 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Med disse ni tegn og med tegnet 0, som araberne kalder ’zephirum’ (ciffer) kan man skrive et hvilket som helst tal, som vi skal demonstrere  i det følgende.

Og netop denne mulighed for at skrive alle tal – og regne med dem – skulle blive kernen bag hindutallenes sejrsgang. I Reisch’ værk bliver det fremstillet som en konkurrence mellem algoristen (hindutallene, som man kan regne med på papir) og abacisten (romertallene, som kræver et eksternt apparat for at blive behandlet) – og aritmetikkens lys skinner på algoristen – og dermed nullet – som sejrherren.

Træsnit fra Gregor Reisch, som viser konkurrencen mellem algoristen og abacisten.
Træsnit fra Gregor Reisch, som viser konkurrencen mellem algoristen og abacisten.