Nogle filosofiske refleksioner om nullets natur

For de græske matematikere var tal ”størrelser sammensat af enheder”, og hverken 0 eller 1 kom altså i betragtning som tal. Oversat kan man se dette som intuitivt, da ingen objekter ikke er et antal objekter, ligesom 1 objekt heller ikke (bogstaveligt) er et antal objekter da forskellen mellem objektet og samlingen af objektet først blev ekspliciteret i 1800-tallet (Frege etc.). Men når vi alligevel insisterer på, at 0 og 1 er tal, så er det altså fordi vi opfatter dem som størrelser af henholdsvis den tomme mængde og en singleton: De kommer altså til at svare til begreberne ”ingen” og ”den”. Og det giver god mening, især fordi vi gerne vil have et godt matematisk system, hvor vi fx kan regne med negative tal.

Et meget interessant filosofisk tilfælde er tænkeren Gregor Reisch, hvis bog udgjorde grundlaget for forelæsninger ved universiteternes filosofiske fakulteter omkring 1500. Reisch beskrev blandt andet i sin definition, hvordan ”enheden er intet tal, men tallets oprindelse” (Reisch’s Margarita philosophica 1504). Ramus beskrev i 1569 dette således: ”Et tal er det, hvormed en hvilken som helst ting tælles”, og fordi han betragtede ”tælling” som omfattende alle aritmetikkens fire operationer, blev hans talbegreb mere udvidet. Senere formulerede Stevin det sin version af definitionen: ”et tal er det, hvorigennem enhver genstands kvantitet kommer til udtryk” (1585), og herved er 1 blevet et tal, mens 0 nærmere bliver tallenes begyndelse, deres princip.

Negative tal er en anden besynderlig konstruktion i matematikkens historie, og det tog lang tid, før de blev accepterede som tal og givet en forståelse, der rækker ud over at de passer i regninger. En tidlig fortolkning af negative tal (og ikke bare ”trække-fra-tal”) som gæld er senere blevet gjort præcisere ved at opfatte dem som additivt inverse til positive tal, altså $a+(-a)=0$, og dermed opfatte dem som at gå ”den anden vej” ud af tallinjen (fx Wallis’ (1616-1703) fysiske fortolkning: ”At gå -3 skridt fremad er det samme som at gå tre skridt baglæns”). Selvom denne forståelse er (og var) intuitiv, tog det lang tid før den blev anerkendt som begrundelse for de negative tal (og nul) – indtil da blev negative løsninger til ligninger fx kaldet ”falske” eller ”fiktive” løsninger (Cardano 1545, Descartes 1637). Og en del af baggrunden for dette er, at de optræder algebraisk men ikke svarer til geometriske størrelser i de problemer, som den algebraiske repræsentation stammer fra. Og selv Immanuel Kant (1724-1804) behandlede problemet i afhandlingen Versuch den Begriff der negativen Grössen in die Weltweisheit einzuführen fra 1763; der beskrev han, hvordan ”de negative størrelser er ikke negationer af størrelser, som ligheden i udtrykkene kunne lade formode, men noget som i sig selv er sandt positivt, og som blot er modstillet noget andet”. Mere præcist: ”Det er modstillet hinanden, hvoraf det ene ophæver det, som er sat af det andet”. Og nullet blev i denne anledning til den balance, som modstillingen spænder omkring.

Tilsvarende skelnede man fx mellem fuldstændige og ufuldstændige ligninger (afhængig af om alle polynomielle led var medtaget eller ej). Og så længe man ikke accepterede nul som en koefficient, var der mange forskellige typer ligninger, som alle måtte beskrives individuelt, fx 6 kvadratiske ligninger hos al-Khwarizmi, fx ”kvadrat og tal er lig rødder”: ”et kvadrat og 21 i tal er lig med 10 rødder af det samme kvadrat”. Hver af disse typer ligning måtte – i hvert fald i princippet – have sin egen løsnings procedure, og dette blev for alvor omfattende, da Omar Khayyam og andre senere forsøgte at tage skridtet videre til at betragte kubiske ligninger.

Der findes imidlertid også andre positionstalsystemer end hindutallene – et af dem, der hele tiden omgiver os er det binære talsystem, som er et 2-tals-positionssystem. Blandt de allerførste til at studere de binære tal var matematikeren og filosoffen Leibniz, som ud over deres rent matematiske egenskaber også var interesseret i dem af teologiske grunde. For i de binære tal så han en forklaring på Guds skaberværk: Ud af intet (0) og det guddommelige (1) kunne alle tallene skabes. Dette argument udviklede han i korrespondance med en jesuittermunk ved navn Bouvet.

Problemet med nullets natur som angivelse af størrelse bliver blot endnu tydeligere, hvis vi overvejer dets potentiale som ordenstal. Vi taler nemt om første gang, anden gang, tredje gang; eller om 1. klasse, 2. klasse, etc. Men at tale – som vi jo nu også gør – om 0. klasse i skolen er ret beset at gøre vold på et begreb; eller rettere: der ligger en dybere matematisk mening bag ved, nemlig at tal-rækken (og i dette tilfælde ordenstals-rækken) besidder en vis systematik (som den ikke nødvendigvis gør i dette tilfælde).

Og foruden at vise sprogets fleksibilitet viser dette eksempel også matematiske strukturer og regularitet er en drivkraft i megen matematisk begrebsdannelse. Hvis vi som moderne matematikere nemlig betragter de hele tal som en struktur, vil vi opfatte 0 som et additivt inverst element, dvs. $a+0=0+a=a$ for alle a. Og om dette kan man endda bevise, at 0 er entydigt: Antag nemlig, at både 0 og 0’ er additivt inverse elementer. Så er (ved at sætte a=0’ i ovenstående definition af 0): $0+0’ = 0$. Men samtidig er $0+0’=0’$, og ved at sammensætte får man konklusionen $0=0’$. For en matematiker er selv den slags oplagte ræsonnementer om ingenting således ikke det rene sofisteri!